Cho phương trình \({\log _3}\left( {3{x^2} - 6x + 6} \right) = {3^{{y^2}}} + {y^2} - {x^2} + 2x - 1\). Hỏi có bao nhiêu cặp số \(\left( {x;y} \right)\) và \(0 < x < 2020\), \(y \in \mathbb{N}\) thỏa mãn phương trình đã cho?A.\(5\)B.\(6\)C.\(7\)D.\(4\)

2601325726857425

2 năm trước

Cho phương trình \({\log _3}\left( {3{x^2} - 6x + 6} \right) = {3^{{y^2}}} + {y^2} - {x^2} + 2x - 1\). Hỏi có bao nhiêu cặp số \(\left( {x;y} \right)\) và \(0 < x < 2020\), \(y \in \mathbb{N}\) thỏa mãn phương trình đã cho?
A.\(5\)
B.\(6\)
C.\(7\)
D.\(4\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 17 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

daoquyen.2309

Đáp án đúng: D

Phương pháp giải:
- Biến đổi, xét hàm đặc trưng.
- Đưa phương trình về dạng \(g\left( x \right) = h\left( y \right)\).
- Lập BBT của hàm số \(y = g\left( x \right)\), tìm điều kiện để phương trình \(g\left( x \right) = h\left( y \right)\) có nghiệm, kẹp khoảng giá trị của \(y\).
- Từ các giá trị của \(y\) tìm nghiệm \(x\) và suy ra số cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn.
Giải chi tiết:Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\log _3}\left( {3{x^2} - 6x + 6} \right) = {3^{{y^2}}} + {y^2} - {x^2} + 2x - 1\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {3\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)} \right] = {3^{{y^2}}} + {y^2} - \left( {{x^2} - 2x + 2} \right) + 1\\ \Leftrightarrow {\log _3}3 + {\log _3}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) = {3^{{y^2}}} + {y^2} - \left( {{x^2} - 2x + 2} \right) + 1\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) + \left( {{x^2} - 2x + 2} \right) = {3^{{y^2}}} + {y^2}\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) + \left( {{x^2} - 2x + 2} \right) = {\log _3}{3^{{y^2}}} + {3^{{y^2}}}\end{array}\)
Xét hàm số đặc trưng \(f\left( t \right) = {\log _3}t + t\,\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 3}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0\), do đó hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\), lại có \(f\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) = f\left( {{3^{{y^2}}}} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 2 = {3^{{y^2}}}\,\,\,\left( * \right)\).
Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^2} - 2x + 2\) với \(0 < x < 2020\) ta có: \(g'\left( x \right) = 2x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in \left( {0;2020} \right)\).
BBT:

Dựa vào BBT ta thấy phương trình (*) có nghiệm
\( \Leftrightarrow 1 \le {3^{{y^2}}} < 4076362\) \( \Leftrightarrow {\log _3}1 \le {y^2} < {\log _3}4076362\) \( \Leftrightarrow 0 \le {y^2} < 13,85\).
Lại có \(y \in \mathbb{N} \Rightarrow y \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}\) \( \Rightarrow g\left( x \right) \in \left\{ {1;3;{3^4};{3^9}} \right\}\).
Dựa vào BBT ta thấy mỗi phương trình \(g\left( x \right) = 1\), \(g\left( x \right) = 3\), \(g\left( x \right) = {3^4}\), \(g\left( x \right) = {x^9}\) có 1 nghiệm thỏa mãn \(0 < x < 2020\).
Vậy có 4 cặp số \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn D.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA = a\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), đáy là hình vuông. Gọi \(M\) là trung điểm của \(AD\) và góc giữa \(\left( {SBM} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \({45^0}\). Khoảng cách từ \(D\) đến mặt phẳng \(\left( {SBM} \right)\) bằng:
A.\(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
B.\(a\sqrt 2 \)
C.\(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
D.\(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}\)

Một ô tô đang đứng và bắt đầu chuyển động theo một đường thẳng với gia tốc \(a\left( t \right) = 6 - 3t\,\,\left( {m/{s^2}} \right)\), trong đó \(t\) là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc ô tô bắt đầu chuyển động. Hỏi quãng đường ô tô đi được kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc của ô tô đạt giá trị lớn nhất là:
A.\(10\,\,\left( m \right)\)
B.\(6\,\,\left( m \right)\)
C.\(12\,\,\left( m \right)\)
D.\(8\,\,\left( m \right)\)

Cho \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( x \right) = f\left( {2020 - x} \right)\) và \(\int\limits_3^{2017} {f\left( x \right)dx} = 4\). Khi đó \(\int\limits_3^{2017} {xf\left( x \right)dx} \) bằng:
A.\(16160\)
B.\(4040\)
C.\(2020\)
D.\(8080\)

Tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {\dfrac{9}{4}} \right)^x} - 2.{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^x} + 1 > 0\) là:
A.\(\left( {0; + \infty } \right)\)
B.\(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
C.\(\left[ {0; + \infty } \right)\)
D.\(\mathbb{R}\)

Dung dịch NaOH phản ứng với tất cả các chất trong dãy:
A.Fe(OH)3, BaCl2, CuO, HNO3
B.H2SO4, SO2, CO2, FeCl2
C.HNO3, HCl, CuSO4, KNO3
D.Al, MgO, H3PO4, BaCl2

Nhóm các dung dịch có pH > 7 là:
A.HCl, NaOH
B.H2SO4, HNO3
C.NaOH, Ca(OH)2
D.BaCl2, NaNO3

So với tia hồng ngoại, tia tử ngoại có cùng bản chất là bức xạ điện từ nhưng
A.tần số lớn hơn.
B.tốc độ tuyền trong chân không nhanh hơn.
C.cường độ lớn hơn.
D.bước sóng lớn hơn.

Thuốc thử để nhận biết dung dịch Ca(OH)2 là:
A.Na2CO3
B.KCl
C.NaOH
D.NaNO3

NaOH rắn có khả năng hút nước rất mạnh nên có thể dùng làm khô một số chất. NaOH dùng để làm khô khí ẩm nào sau đây?
A.H2S.
B.H2.
C.CO2
D.SO2.

Thành phần phần trăm của Na và Ca trong hợp chất NaOH và Ca(OH)2 lần lượt là:
A.50% và 54%
B.52% và 56%
C.54,1% và 57,5%
D.57,5% và 54,1%

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến