Đáp án đúng: B

Phương pháp giải:

+ Phương trình \(f\left( {x;m} \right) = a{x^2} + bx + c\) có \(2\) nghiệm phân biệt cùng dương \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.\)+ Phương trình \(f\left( {x;m} \right) = a{x^2} + bx + c\) có \(2\) nghiệm phân biệt cùng âm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right.\)+ Phương trình \(f\left( {x;m} \right) = a{x^2} + bx + c\) có \(2\) nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow P < 0 \Leftrightarrow ac < 0\).Giải chi tiết:+) Phương trình \(\left( {m + 2} \right){x^2} + \left( {2m + 1} \right)x + 2 = 0\) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi \(\begin{array}{l}P < 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {m + 2} \right) < 0\\ \Leftrightarrow m + 2 < 0\\ \Leftrightarrow m <  - 2\end{array}\)\( \Rightarrow \) Đáp án A đúng.+) Phương trình \(\left( {m + 2} \right){x^2} + \left( {2m + 1} \right)x + 2 = 0\) có hai nghiệm cùng dấu khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta  \ge 0\\P > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {2m + 1} \right)^2} - 8\left( {m + 2} \right) \ge 0\\\dfrac{2}{{m + 1}} > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - 4m - 15 \ge 0\\m + 1 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m \le  - \dfrac{3}{2}\\m \ge \dfrac{5}{2}\end{array} \right.\\m >  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge \dfrac{5}{2}\)\( \Rightarrow \) Đáp án B sai.+) Với \(m =  - 5\) phương trình trở thành \( - 3{x^2} - 9x + 2 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{ - 9 + \sqrt {141} }}{6}\\{x_2} = \dfrac{{ - 9 - \sqrt {141} }}{6}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {x_1}\), \({x_2}\) trái dấu và \({x_1} + {x_2} =  - 3\)\( \Rightarrow \) Đáp án C đúng.+) Với \(m =  - 3\) phương trình trở thành \( - {x^2} - 5x + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{ - 5 - \sqrt {33} }}{2}\\{x_2} = \dfrac{{ - 5 + \sqrt {33} }}{2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {x_1}\) và \({x_2}\) thỏa mãn điều kiện \({x_1} < 0 < \,{x_2}\) và \(\left| {{x_1}} \right| > \left| {{x_2}} \right|\)\( \Rightarrow \) Đáp án D đúng.Đáp án B.