Đáp án: $0<m<\dfrac16$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$-mx^3+x^2-2x+8m=0$
$\to -(mx^3-8m)+(x^2-2x)=0$
$\to -m(x^3-8)+x(x-2)=0$
$\to -m(x-2)(x^2+2x+4)+x(x-2)=0$
$\to (x-2)(-mx^2-2mx-4m+x)=0$
$\to$Phương trình luôn có nghiệm $x=2>-2$
$\to$Để phương trình có $3$ nghiệm phân biệt lớn hơn $-2$
$\to$Phương trình $-mx^2-2mx-4m+x=0(*)$ có $2$ nghiệm phân biệt lớn hơn $-2$ và $(*)$ không có nghiệm $x=2$
Ta có:
$(*)\to -mx^2-x(2m-1)-4m=0$
$\to mx^2+x(2m-1)+4m=0$
$\to \begin{cases}m\ne 0\\ m\cdot 2^2+2\cdot (2m-1)+4m\ne 0\\ (2m-1)^2-4m\cdot 4m>0 \\ x_1>-2\\ x_2>-2\end{cases}$
$\to \begin{cases}m\ne 0\\ m\ne\dfrac16\\ -\dfrac{1}{2}<m<\dfrac{1}{6}\\ x_1+2>0\\ x_2+2>0\end{cases}$
$\to \begin{cases}m\ne 0\\ m\ne\dfrac16\\ -\dfrac{1}{2}<m<\dfrac{1}{6}\\ (x_1+2)(x_2+2)>0\\ (x_1+2)+(x_2+2)>0\end{cases}$
$\to \begin{cases}m\ne 0\\ m\ne\dfrac16\\ -\dfrac{1}{2}<m<\dfrac{1}{6}\\ x_1x_2+2(x_1+x_2)+4>0\\ (x_1+x_2)+4>0\end{cases}$
$\to \begin{cases}m\ne 0\\ m\ne\dfrac16\\ -\dfrac{1}{2}<m<\dfrac{1}{6}\\\dfrac{4m}m +2\cdot( -\dfrac{2m-1}{m})+4>0\\ ( -\dfrac{2m-1}{m})+4>0\end{cases}$
$\to \begin{cases}m\ne 0\\ m\ne\dfrac16\\ -\dfrac{1}{2}<m<\dfrac{1}{6}\\ m<-\dfrac12\text{ hoặc }m>0\\m<-\dfrac12\text{ hoặc }m>0\end{cases}$
$\to 0<m<\dfrac16$
