Đáp án:
a = \(
\frac{6}{{\ln 5}}
\)
Giải thích các bước giải:
Điều kiện xác định: x > -1
Theo giả thiết ta có:
\(
\begin{array}{l}
m\ln ^2 (x + 1) - (x + 2 - m)\ln (x + 1) - (x + 2) = 0 \\
\Leftrightarrow m\ln ^2 (x + 1) + m\ln (x + 1) - (x + 2)\ln (x + 1) - (x + 2) = 0 \\
\Leftrightarrow m\ln (x + 1)(\ln (x + 1) + 1) - (x + 2)(\ln (x + 1) + 1) = 0 \\
\Leftrightarrow (\ln (x + 1) + 1)(m\ln (x + 1) - (x + 2)) = 0 \\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}c}
{\ln (x + 1) = - 1} \\
{m\ln (x + 1) = x + 2} \\
\end{array}} \right. \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = e^{ - 1} - 1 \\
m\ln (x + 1) = x + 2(*) \\
\end{array} \right. \\
\end{array}
\)
Để phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn \(
0 < x_1 < 2 < 4 < x_2
\)
Nhận xét: x = 0 không là nghiệm của phương trình
Suy ra: \(
m = \frac{{x + 2}}{{\ln (x + 1)}}
\)
Xét hàm \)
f(x) = \frac{{x + 2}}{{\ln (x + 1)}}
\):
\(
\begin{array}{l}
f'(x) = \frac{{\ln (x + 1) - \frac{{x + 2}}{{x + 1}}}}{{\ln ^2 (x + 1)}} = 0 \\
\Leftrightarrow \ln (x + 1) - \frac{{x + 2}}{{x + 1}} = 0 \\
\Leftrightarrow x \approx 2,5911.... \\
\end{array}
\)
\(
f(2) = \frac{4}{{\ln 3}};f(4) = \frac{6}{{\ln 5}}
\)
Vẽ bản biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:
Phương trình có 2 nghiệm \(
0 < x_1 < 2 < 4 < x_2
\) khi \(
m > \frac{6}{{\ln 5}}
\)
Vậy a = \(
\frac{6}{{\ln 5}}
\)
