Đáp án:
$m=\pm \dfrac34$
Giải thích các bước giải:
$\quad x^2 - 2(m-1)x - 2m = 0$
Ta có: $\Delta' = (m-1)^2 + 2m$
$\Leftrightarrow \Delta' = m^2 + 1 > 0\quad \forall m$
$\Rightarrow$ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1,\ x_2$
Áp dụng định lý Viète ta được:
$\begin{cases}x_1 + x_2 = 2(m-1)\\x_1x_2 = -2m\end{cases}$
Do $x_1$ là một nghiệm của phương trình đã cho
nên $x_1^2 - 2(m-1)x_1 - 2m = 0$
$\Leftrightarrow x_1^2 = 2(m-1)x_1 + 2m$
Theo đề ta có:
$\quad x_1^2 + 2m - 5 = x_2 - x_1$
$\Leftrightarrow 2(m-1)x_1 + 2m + 2m - 5 = 2(m-1) - x_1 - x_1$
$\Leftrightarrow 2mx_1= - 2m + 3$
$\Leftrightarrow x_1=\dfrac{-2m +3}{2m}\qquad (m\ne 0)$
$\Rightarrow x_2 = 2(m-1)-x_1 = \dfrac{4m^2 - 2m - 3}{2m}$
Khi đó:
$\quad x_1x_2 = - 2m$
$\Leftrightarrow \left(\dfrac{-2m+3}{2m}\right)\cdot\left(\dfrac{4m^2 - 2m -3}{2m}\right)= -2m$
$\Leftrightarrow (-2m+3)(4m^2 - 2m - 3)= -8m^3$
$\Leftrightarrow 16m^2 - 9 = 0$
$\Leftrightarrow m^2 =\dfrac{9}{16}$
$\Leftrightarrow m =\pm \dfrac34$
Vậy $m=\pm\dfrac34$
