Giải thích các bước giải:
Ta có:
Phương trình ${x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 3m = 0\left( 1 \right)$
a) Phương trình $(1)$ có $2$ nghiệm ${x_1},{x_2}$ trái dấu
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow ac < 0\\
\Leftrightarrow {m^2} - 3m < 0\\
\Leftrightarrow m\left( {m - 3} \right) < 0\\
\Leftrightarrow 0 < m < 3
\end{array}$
Vậy $0 < m < 3$ thỏa mãn.
b) Phương trình $(1)$ có $2$ nghiệm ${x_1},{x_2}$ cùng dương
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' \ge 0\\
S > 0\\
P > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( { - \left( {m - 1} \right)} \right)^2} - 1\left( {{m^2} - 3m} \right) \ge 0\\
2\left( {m - 1} \right) > 0\\
{m^2} - 3m > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m + 1 \ge 0\\
m - 1 > 0\\
m\left( {m - 3} \right) > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ge - 1\\
m > 1\\
\left[ \begin{array}{l}
m > 3\\
m < 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow m > 3
\end{array}$
Vậy $m>3$ thỏa mãn
c) Phương trình $(1)$ có $2$ nghiệm ${x_1},{x_2}$ cùng âm
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' \ge 0\\
S < 0\\
P > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( { - \left( {m - 1} \right)} \right)^2} - 1\left( {{m^2} - 3m} \right) \ge 0\\
2\left( {m - 1} \right) < 0\\
{m^2} - 3m > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m + 1 \ge 0\\
m - 1 < 0\\
m\left( {m - 3} \right) > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ge - 1\\
m < 1\\
\left[ \begin{array}{l}
m > 3\\
m < 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow - 1 \le m < 0
\end{array}$
Vậy $ - 1 \le m < 0$
