Đáp án:
Biểu thức không tồn tại m để có GTLN
Giải thích các bước giải:
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt
\(\begin{array}{l}
\to \Delta ' > 0\\
\to {m^2} - {m^2} + 2m > 0\\
\to m > 0\\
Vi - et:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2m\\
{x_1}{x_2} = {m^2} - 2m
\end{array} \right.\\
P = {x_1}\left( {{x_1} + 1} \right) + {x_2}\left( {{x_2} + 1} \right) + 2021\\
= {x_1}^2 + {x_1} + {x_2}^2 + {x_2} + 2021\\
= \left( {{x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2} \right) - 2{x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2021\\
= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2021\\
= 4{m^2} - 2\left( {{m^2} - 2m} \right) + 2m + 2021\\
= 2{m^2} + 6m + 2021\\
= 2\left( {{m^2} + 2.m.\dfrac{3}{2} + \dfrac{9}{2}} \right) + 2012\\
= 2{\left( {m + \dfrac{3}{2}} \right)^2} + 2012\\
Do:2{\left( {m + \dfrac{3}{2}} \right)^2} \ge 0\forall m\\
\to 2{\left( {m + \dfrac{3}{2}} \right)^2} + 2012 \ge 2012\\
\to m + \dfrac{3}{2} = 0\\
\to m = - \dfrac{3}{2}
\end{array}\)
⇒ Biểu thức không tồn tại m để có GTLN
