Đáp án:
$m\in \{-17;3\}$
Giải thích các bước giải:
$\quad x^2 - 3x + m - 1=0$
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow \Delta >0$
$\Leftrightarrow 9 - 4(m-1) >0$
$\Leftrightarrow m < \dfrac{13}{4}$
Áp dụng định lý Viète với hai nghiệm $x_1;\ x_2$ của phương trình, ta được:
$\begin{cases}x_1 + x_2 = 3\qquad (1)\\x_1x_2 = m- 1\quad (2)\end{cases}$
Bên cạnh đó:
$x_1$ là một nghiệm của phương trình, do đó:
$\quad x_1^2 - 3x_1 + m - 1 = 0$
$\Leftrightarrow x_1^2 = 3x_1 - m + 1$
Ta có:
$\quad x_2 + 3 = x_1^2$
$\Leftrightarrow x_2 + 3 = 3x_1 - m + 1$
$\Leftrightarrow 3x_1 - x_2 = m + 2\quad (3)$
Kết hợp $(1)$ và $(3)$ ta được:
$\quad\begin{cases}x_1 + x_2 = 3\\3x_1 - x_2 = m + 2\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x_2 = 3 - x_1\\3x_1 - (3 - x_1) = m + 2\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x_2 = 3 - x_1\\4x_1 - 3 = m + 2\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x_1 = \dfrac{m+5}{4}\\x_2 = \dfrac{-m + 7}{4}\end{cases}$
Thay vào $(2)$ ta được:
$\quad \dfrac{m+5}{4}\cdot \dfrac{-m+7}{4} = m - 1$
$\Leftrightarrow (m+5)(-m+7) = 16(m-1)$
$\Leftrightarrow m^2 + 14m - 51 =0$
$\Leftrightarrow (m+17)(m-3) = 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m = -17\\m = 3\end{array}\right.$ (nhận)
Vậy $m\in \{-17;3\}$
