Giải thích các bước giải:
Ta có:
Phương trình $2m{x^2} - x - m = 0\left( 1 \right)$
+) Nếu $m=0$ thì $(1)$ trở thành: $-x=0\to x=0$
$\to (1)$ có nghiệm thuộc $\left[ { - 1;1} \right]$
+) Nếu $m\ne 0$ thì ta có: $(1)$ trở thành phương trình bậc 2 ẩn $x$ tham số $m$
Xét đa thức $f\left( x \right) = 2m{x^2} - x - m$ liên tục trên đoạn $\left[ { - 1;1} \right]$
Khi đó:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
f\left( { - 1} \right) = 2m.1 + 1 - m = m + 1\\
f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = 2m.\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2} - m = - \dfrac{m}{2} - \dfrac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow f\left( { - 1} \right)f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = \left( {m + 1} \right)\left( { - \dfrac{m}{2} - \dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{{ - 1}}{2}{\left( {m + 1} \right)^2}\\
\Rightarrow f\left( { - 1} \right)f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) \le 0,\forall m
\end{array}$
$ \Rightarrow $ Phương trình $f\left( x \right) = 0$ có nghiệm trên $\left[ { - 1;\dfrac{1}{2}} \right]$
$ \Rightarrow $ Phương trình $f\left( x \right) = 0$ có nghiệm trên $\left[ { - 1;1} \right]$
Vậy ta có điều phải chứng minh
