Đáp án: $m\in\{-4,1\}$
Giải thích các bước giải:
Để phương trình có $2$ nghiệm
$\to\Delta'\ge 0$
$\to (-2)^2-(m^2+3m)\ge 0$
$\to m^2+3m-4\le 0$
$\to (m-1)(m+4)\le 0$
$\to -4\le m\le 1$
Khi đó phương trình có $2$ nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn
$\begin{cases}x_1+x_2=4\\x_1x_2=m^2+3m\end{cases}$
Mà $x_1^2-4x_1+m^2+3m=0$
$\to x_1^2+x_2=4x_1-m^2-3m+x_2$
$\to 4x_1-m^2-3m+(4-x_1)=6$
$\to 3x_1-m^2-3m+4=6$
$\to 3x_1=m^2+3m+2$
$\to x_1=\dfrac13(m^2+3m+2)$
$\to x_2=4-x_1=4-\dfrac13(m^2+3m+2)=\dfrac13(-m^2-3m+10)$
$\to x_1x_2=\dfrac13(m^2+3m+2)\cdot \dfrac13(-m^2-3m+10)=m^2+3m$
$\to (m^2+3m+2)(-(m^2+3m)+10)=9(m^2+3m)$
Đặt $m^2+3m=t$
$\to (t+2)(-t+10)=9t$
$\to -t^2+8t+20=9t$
$\to t^2+t-20=0$
$\to (t+5)(t-4)=0$
$\to t\in\{4,-5\}$
Nếu $t=4\to m^2+3m=4\to m^2+3m-4=0\to (m-1)(m+4)=0$
$\to m\in\{-4,1\}$
Nếu $t=-5\to m^2+3m=-5\to m^2+3m+5=0$
$\to \left(m+\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{11}{4}=0$ vô nghiệm
