a) Đk: \(x\ge 1\)
Với \(m=4\)
Pt: \(m \sqrt{x^3-1} = x^2+2 \)
\(\Leftrightarrow 4\sqrt{x^3-1}=x^2+2\)
\(\Rightarrow 16(x^3-1)=x^4+4x^2+4\)
\(\Leftrightarrow x^4-16x^3+4x^2+20=0\)
b) TH1: \(x=1\Rightarrow x^2+2=0\) phương trình vô nghiệm.
TH2: \(x>1\) chia cả 2 vế phương trình cho \(\sqrt{x^3-1}\)
Ta được: \(\dfrac{x^2+2}{\sqrt{x^3-1}}=m\)
Xét hàm \(y=\dfrac{x^2+2}{\sqrt{x^3-1}}\)
ĐK: \(x>1\)
\(y'=\dfrac{2x\sqrt{x^3-1}-(x^2+2)\dfrac{3x^2}{2\sqrt{x^3-1}}}{x^3-1}=\dfrac{4x(x^3-1)-3x^4-6x^2}{2\sqrt{x^3-1}(x^3-1)}\)
\(=\dfrac{x^4-6x^2-4x}{2\sqrt{x^3-1}{(x^3-1)}}=0\)
\(\Rightarrow x=\{0; 1\pm\sqrt{3}; -2\}\)
\(y(1+\sqrt 3)=\dfrac{(1+\sqrt 3)^2+2}{\sqrt{(1+\sqrt 3)^3-1}}=\dfrac{6+2\sqrt 3}{\sqrt{6\sqrt 3+9}}\)
Ta có BBT như hình vẽ
Vậy \(m\ge \dfrac{6+2\sqrt 3}{\sqrt{6\sqrt 3+9}}\) thì phương trình có nghiệm.
