ta có
S = $\frac{1}{2^2}$ + $\frac{1}{3^2}$ + $\frac{1}{4^2}$ + ... + $\frac{1}{2015^2}$
S > $\frac{1}{2.3}$ + $\frac{1}{3.4}$ + $\frac{1}{4.5}$ + ... + $\frac{1}{2015.2016}$
⇔ S > $\frac{3-2}{2.3}$ + $\frac{4-3}{3.4}$ + $\frac{5-4}{4.5}$ + ... + $\frac{2016-2015}{2015.2016}$
⇔ S > $\frac{1}{2}$ - $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{3}$ - $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{4}$ - $\frac{1}{5}$ + ... + $\frac{1}{2015}$ - $\frac{1}{2016}$
⇔ S > $\frac{1}{2}$ - $\frac{1}{2016}$ = $\frac{1007}{2016}$
------------------------------------------------------------------------------------------
S = $\frac{1}{2^2}$ + $\frac{1}{3^2}$ + $\frac{1}{4^2}$ + ... + $\frac{1}{2015^2}$
S < $\frac{1}{1.2}$ + $\frac{1}{2.3}$ + $\frac{1}{3.4}$ + ... + $\frac{2014}{2015}$
⇔ S < $\frac{2-1}{1.2}$ + $\frac{3-2}{2.3}$ + $\frac{4-3}{3.4}$ + ... + $\frac{2015-2014}{2014.2015}$
⇔ S < 1 - $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ - $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{3}$ - ... + $\frac{1}{2014}$ - $\frac{1}{2015}$
⇔ S < 1 - $\frac{1}{2015}$ = $\frac{2014}{2015}$
Vậy ta có đpcm.
