Gọi $n(S_i)$ là số số hạng của $S_i$. Ví dụ
$$n(S_1) = 2, n(S_2) = 3, n(S_3) = 4$$
Khi đó, số số hạng từ $S_1$ đến $S_{99}$ là
$$n(S_1) + n(S_2) + \cdots + n(S_{99}) = 2 + 3 + \cdots + 99$$
Xét tổng
$$S = 2 + 3 + \cdots + 99$$
Lấy số đầu cộng số cuối ta được 101. Vậy cứ lấy 2+99, 3 + 98, \dots, ta đều được 101. Hơn nữa, tổng này có 98 số hạng. Do đó
$$S = 101.\dfrac{98}{2} = 4949$$
Vậy số hạng cuối cùng của $S_{99}$ là 4949.
Do đó, số hạng bắt đầu của $S_{100}$ là 4950. Hơn nữa, để ý rằng $n(S_i) = i+1$, do đó $n(S_{100}) = 101$. Vậy
$$S_{100} = 4950 + 4951 + \cdots + 5050$$
Tương tự cách tính tổng ở trên, ta có
$$S_{100} = 505000$$
