Đáp án: W = √(x + y) = √(2∛4)
Giải thích các bước giải:
√x³ + √y³ = √(xy)³ (1)
x^2008 + y^2008 = 8√(xy)^2005 (2)
Lấy (1).(2) vế với vế:
(√x³ + √y³)(x^2008 + y^2008) = 8√(xy)^2008(*)
Mặt khác từ (1) suy ra :
√(xy)³ = √x³ + √y³ ⇔ (xy)³ = (√x³ + √y³)² ≥ 4√(xy)³ = 4(√x³ + √y³) ⇔ √x³ + √y³ ≥ 4 (3)
Và x^2008 + y^2008 ≥ 2√(xy)^2008 (4)
Lấy (3).(4) ta có : (√x³ + √y³)(x^2008 + y^2008) ≥ 8√(xy)^2008 (**)
Từ (*) và (**) suy ra đã xảy ra dấu đăng thức ở (**) nên từ (3) và (4) suy ra:
{ √x³ + √y³ = 4 ⇔ √x³ = √y³ = 2 ⇔ x = y = ∛4
{ x^2008 + y^2008 = 2√(xy)^2008 ⇔ x = y
Vậy W = √(x + y) = √(2∛4)
