Đáp án:
a) AM là đường trung tuyến của ABC cân tại A nên Am đồng thời là đường cao và phân giác
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \widehat {AMB} = \widehat {AMC} = {90^0}\\
MB = MC = \dfrac{1}{2}BC = 5\left( {cm} \right)\\
Theo\,Pytago:\\
A{B^2} = A{M^2} + M{B^2}\\
\Leftrightarrow A{M^2} = {13^2} - {5^2} = 144\\
\Leftrightarrow AM = 12\left( {cm} \right)
\end{array}$
b)$GM = \dfrac{1}{2}AG \Leftrightarrow \dfrac{{AG}}{{AM}} = \dfrac{2}{3}$
Mà AM là trung tuyến của tam giác ABC
=> G là trọng tâm
=> BG đi qua trung điểm AC
hay N là trung điểm AC
=> NA = NC
c) Kẻ BH vuông góc với AC tại H
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.AM.BC = \dfrac{1}{2}.BH.AC\\
\Leftrightarrow BH = \dfrac{{AM.BC}}{{AC}} = \dfrac{{12.10}}{{13}} = \dfrac{{120}}{{13}}\left( {cm} \right)\\
Theo\,Pytago:\\
B{C^2} = H{C^2} + B{H^2}\\
\Leftrightarrow H{C^2} = {10^2} - {\left( {\dfrac{{120}}{{13}}} \right)^2}\\
\Leftrightarrow HC = \dfrac{{50}}{{13}}\left( {cm} \right)\\
\Leftrightarrow NH = NC - HC = \dfrac{1}{2}.AC - \dfrac{{50}}{{13}} = \dfrac{{69}}{{26}}\left( {cm} \right)\\
Do:B{N^2} = B{H^2} + N{H^2}\\
= {\left( {\dfrac{{120}}{{13}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{69}}{{26}}} \right)^2}\\
BN = \dfrac{{3\sqrt {41} }}{2}\left( {cm} \right)
\end{array}$
d) CG cắt AB tại L
=> CL là đường trung tuyến của tg ABC
=> L là trung điểm AB
=> LN là đường trung bình của tam giác ABC
=> LN // BC (theo t/c)
