Đáp án:
a)Xét $ΔAEF$ và $ΔDCF$ có:
$\widehat{FAE}=\widehat{FDC}=90^o$
$\widehat{EFA}=\widehat{DFC}$ ( đối đỉnh)
$\Rightarrow$ `ΔAEF` `~` `ΔDCF` (g.g)
b) Vì $ΔAEF$ ~ $ΔDCF$ nên $\widehat{AEF}=\widehat{ACB}$
Xét $ΔAEF$ và $ΔACB$ có:
$\widehat{FAE}=\widehat{CAB}=90^o$
$\widehat{AEF}=\widehat{ACB}$
$\Rightarrow$ $ΔAEF$ ~ $ΔACB$ (g.g)
$\Rightarrow \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{EF}{BC} \Rightarrow AE.BC=EF.AC$
c) Do
$ΔAEF$ ~ $ΔDCF$
$\Rightarrow \dfrac{FA}{FD}=\dfrac{FC}{FE} \Rightarrow \dfrac{FA}{FE}=\dfrac{FC}{FD}$
Xét $ΔFAD$ và $ΔFEC$ có:
$\dfrac{FA}{FE}=\dfrac{FC}{FD}$
$\widehat{AFD}=\widehat{EFC}$
$\Rightarrow$ $ΔFAD$ `~` $ΔFEC$ (c.g.c)
$\Rightarrow \widehat{ADF}=\widehat{FCE}$
d)
Xét $ΔDFC$ và $ΔDBE$ có:
$\widehat{FDC}=\widehat{EDB}=90^o$
$\widehat{ECD}=\widehat{DEB}$
$\Rightarrow$ $ΔDFC$ ~ $ΔDBE$ (g.g)
$\Rightarrow DF.DE=DB.DC$
Ta có: $DF.DE=DB.DC \leq \dfrac{(DB+DC)^2}{2}=\dfrac{BC^2}{2}$
$DF.DE$ đạt GTLN $\Leftrightarrow DB=DC$ hay $D$ là trung điểm của $BC$
