Giải thích các bước giải:
a.Vì $P\in$Trung trực của BC
$\to PB=PC$
Ta có $AP$ là phân giác $\widehat{BAC},PH\perp AB,PK\perp AC\to PH=PK$
Mà $\widehat{PHB}=\widehat{PKC}=90^o$
$\to\Delta PBH=\Delta PCK$(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
$\to BH=CK$
b.Ta có $PH=PK,\widehat{PHA}=\widehat{PKA}=90^o$
$\to\Delta PHA=\Delta PKA$(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
$\to AH=AK$
$\to \Delta AHK$ cân tại A
Mà $AP$ là phân giác $\widehat{A}$
$\to AP\perp HK$
Qua B kẻ $BE//AK, E\in HK$
$\to \widehat{BEH}=\widehat{AKH}$
Do $\Delta AHK$ cân tại A $\to \widehat{AKH}=\widehat{AHK}$
$\to \widehat{BEH}=\widehat{BHE}\to BH=BE$
Mà $BH=CK\to BE=CK$
Lại có $BE//CK\to \widehat{EBM}=\widehat{MCK}$
Do M là trung điểm BC $\to MB=MC\to \Delta EBM=\Delta KCM(c.g.c)$
$\to \widehat{BME}=\widehat{KMC}$
$\to \widehat{EMK}=\widehat{BME}+\widehat{BMK}=\widehat{CMK}+\widehat{BMK}=\widehat{BMC}=180^o$
$\to E,M,K$ thẳng hàng
$\to H,M,K$ thẳng hàng vì $E,H,K$ thẳng hàng
c.Do $PA\perp HK$(câu a)
$\to AP\perp HK=O$
Kết hợp $AH=AK\to O$ là trung điểm HK
$\to OH=OK$
$\begin{split}\to OA^2+OP^2+OH^2+OK^2&=OA^2+OP^2+OH^2+OH^2\\&=(OA^2+OH^2)+(OP^2+OH^2)\\&=AH^2+PH^2\\&=AP^2 , (PH\perp AB)\end{split}$
