a) Ta có: $MD\bot BC\Rightarrow\widehat{MDB}=90^o$
$MF\bot AB\Rightarrow\widehat{MFB}=90^o$
Tứ giác $MDBF$ có: $\widehat{MDB}+\widehat{MFB}=180^o$
$\Rightarrow MDBF$ nội tiếp đường tròn đường kính (MB)
Hay M, D, B, F cùng thuộc 1 đường tròn.
Ta có: $MD\bot BC\Rightarrow \widehat{MDC}=90^o$
$ME\bot AC\Rightarrow\widehat{MEC}=90^o$
$\Rightarrow MDEC$ thuộc đường tròn đường kính (MC)
hay $M, D, E, C$ cùng thuộc một đường tròn.
b) Ta có: $\widehat{FDB}=\widehat{FMB}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BF của đường tròn đường kính (BM))
$\widehat{EDC}=\widehat{EMC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung EC của (MC))
Mà $\widehat{FMB}=\widehat{EMC}$
(cùng phụ với hai góc bằng nhau $\widehat{FBM}=\widehat{ECM}$ do tứ giác $ABMC$ nội tiếp)
Từ ba điều trên suy ra $\widehat{FDB}=\widehat{EDC}$
mà $B, D, C$ thẳng hàng nên $E, D,F$ thẳng hàng.
c) Ta có:
$\dfrac{AC}{ME}+\dfrac{AB}{MF}=\dfrac{AE+EC}{ME}+\dfrac{AF-FC}{MF}=\dfrac{AE}{ME}+\dfrac{EC}{ME}+\dfrac{AF}{MF}-\dfrac{FC}{MF}$
$=\tan\widehat{AME}+\tan\widehat {EMC}+\tan\widehat{AMF}-\tan\widehat{BMF}$ $(\tan\widehat {EMC}=\tan\widehat{BMF})$
$=\tan\widehat{AME}+\tan\widehat{AMF}$
$AFME$ nội tiếp (do có $\widehat{AFM}+\widehat{AEM}=90^o$) nên
$\widehat{AME}=\widehat{AFE}=\widehat{BMD}$
$\widehat{AMF}=\widehat{AEF}=\widehat{DMC}$
$\Rightarrow \dfrac{AC}{ME}+\dfrac{AB}{MF}=\tan\widehat{BMD}+\tan\widehat{MDC}$
$=\dfrac{BD}{MD}+\dfrac{DC}{MD}=\dfrac{BD+DC}{MD}=\dfrac{BC}{MD}$.
