a) Xét ΔBAD và ΔEAD có
AB=AE(gt)
BADˆ=EADˆBAD^=EAD^(AD là tia phân giác của BACˆBAC^, E∈AC)
AD là cạnh chung
Do đó: ΔBAD=ΔEBD(c-g-c)
⇒DB=DE(hai cạnh tương ứng)
Xét ΔDBE có DB=DE(cmt)
nên ΔDBE cân tại D(định nghĩa tam giác cân)
b) Kẻ BH là tia đối của tia BA
⇔ABCˆABC^ và HBCˆHBC^ là hai góc kề bù
Xét ΔABC có HBCˆHBC^ là góc ngoài tại đỉnh B của ΔABC(HBCˆHBC^ và ABCˆABC^ là hai góc kề bù)
nên HBCˆ=BACˆ+ACBˆHBC^=BAC^+ACB^(định lí góc ngoài của tam giác)
⇔ACBˆ<CBHˆACB^<CBH^
hay DCEˆ<CBHˆDCE^<CBH^(1)
Ta có: ΔABD=ΔAED(cmt)
nên ABDˆ=AEDˆABD^=AED^
mà ABDˆ+DBHˆ=1800ABD^+DBH^=1800(hai góc kề bù)
và AEDˆ+CEDˆ=1800AED^+CED^=1800(hai góc kề bù)
nên DBHˆ=DECˆDBH^=DEC^
hay CBHˆ=DECˆCBH^=DEC^(2)
Từ (1) và (2) suy ra DCEˆ<DECˆDCE^<DEC^
Xét ΔDEC có DCEˆ<DECˆDCE^<DEC^(cmt)
mà cạnh đối diện với DCEˆDCE^ là DE
và cạnh đối diện với DECˆDEC^ là DC
nên DE<DC(định lí 2 về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác)
mà DE=DB(cmt)
nên DC>DB(đpcm)
