Vì O là trung điểm của BC nên OB = OC
Ta có :
$OB^2=BD.CE$
$⇒\dfrac{OB}{CE}=\dfrac{BD}{OC}$
Xét Δ OBD vàΔ ECO có:
$\widehat{B} = \widehat{C} (do tam giác ABC cân tại A)$
$\dfrac{OB}{CE} = \dfrac{DB}{CO}$
$⇒ΔOBD\sim Δ ECO (c.g.c)$
$b) Vì ΔOBD\sim Δ ECO$
$⇒ \widehat{DOB}=\widehat{OEC}$
$⇒\widehat{DOB}+\widehat{COE}=\widehat{OEC}+\widehat{COE}$
$⇒180^o- \widehat{DOE}=180^o - \widehat{OCE}$
$⇒\widehat{DOE}=\widehat{OCE} (1)$
Vì $ΔOBD\sim Δ ECO$
$⇒\dfrac{DO}{OE}=\dfrac{BO}{CE}=\dfrac{OC}{CE} (2)$
Từ (1) và (2) :
$⇒△DOE\sim △OCE (c.g.c)$
$⇒\widehat{DEO}= \widehat{OEC}$
⇒O nằm trên phân giác $\widehat{DEC}$
⇒O cách đều DE và CE
⇒OH có độ dài không đổi vì bằng khoảng cách từ O tới AC.