Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 17cm. BC = 16cm. Kẻ trung tuyến AM a) Chứng minh rằng: \(AM\bot BC\); b) Tính độ dài AM; c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính độ dài AG A. B. C. D.
Đáp án đúng: Giải chi tiết: a) Vì AM là đường trung tuyến nên M là trung điểm của cạnh BC \(\Rightarrow BM=MC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}.16=8cm\) Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta AMC\) có: AB = AC (theo giả thiết) ; BM = MC (cmt); AM chung Vậy \(\Delta AMB=\Delta AMC\,(c.c.c)\) Suy ra : \(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\) ( hai góc tương ứng) Mà \(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}={{180}^{o}}\)(hai góc kề bù) Do đó \(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}={{90}^{o}}\) Vậy \(AM\bot BC\) b) \(\Delta AMC\) vuông tại M nên theo định lí Py-ta-go ta có: \(\begin{align} & A{{M}^{2}}+M{{C}^{2}}=A{{C}^{2}} \\ & \Rightarrow A{{M}^{2}}=A{{C}^{2}}-M{{C}^{2}}={{17}^{2}}-{{8}^{2}}=225 \\ & \Rightarrow AM=15\,cm \\\end{align}\) c) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có: \(AG=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}\cdot 15=10\,cm\)