a) `Δ ABC` có `BM` là đường phân giác
`=>` ${\dfrac{AM}{MC}=\dfrac{AB}{BC}}$ (tính chất đường phân giác trong tam giác)
Tương tự ta có : ${\dfrac{AN}{NB}=\dfrac{AC}{BC}}$
Mà `AB=AC` ( do `ΔABC` cân tại A )
`=>` ${\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AC}{BC}}$
Suy ra : ${\dfrac{AM}{MC}=\dfrac{AN}{NB}}$
`ΔABC` có : ${\dfrac{AM}{MC}=\dfrac{AN}{NB}}$
`=>` `MN // BC` ( định lí Ta-lét đảo )
b) Ta có : $\widehat{MNC}=\widehat{BCN}$ ( 2 góc so le trong do `MN//BC` )
Mà $\widehat{MCN}=\widehat{NCB}$ (do `CN` là đường phân giác của `Δ ABC`)
`=>` $\widehat{MCN}=\widehat{MNC}$
`=>` `Δ MNC` cân tại M
`Δ ABC` có `MN//BC` (cmt)
`=>` ${\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{AM}{AC}}$ (hệ quả định lí Ta-lét)
`=>` ${\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{AC-CM}{AC}}$
Mà `MN=MC` (do `Δ MNC` cân tại M)
`=>` ${\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{AC-NM}{AC}}$
`=>` ${\dfrac{MN}{BC}=1-\dfrac{MN}{AC}}$
`=>` ${ MN.\bigg(\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{BC}\bigg)=1}$
`=>` ${ \dfrac{1}{MN}=\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{BC}}$
