Đáp án:
`a,`
Xét `ΔABK` và `ΔIBK` có :
`hat{BAK} = hat{BIK}= 90^o`
`hat{ABK} = hat{IBK}` (giả thiết)
`BK` chung
`-> ΔABK = ΔIBK` (cạnh huyền - góc nhọn)
$\\$
$\\$
$b,$
Vì `ΔABK = ΔIBK` (chứng minh trên)
`-> AB = IB` (2 cạnh tương ứng)
`-> ΔABI` cân tại `B`
`-> hat{BAI} = hat{BIA}`
$\\$
Ta có : `hat{HAI} + hat{BIA} = 90^o` (Cùng phụ `hat{AHI}`)
Ta có : `hat{CAI} + hat{BAI} = 90^o` (Vì `ΔABC` vuông tại `A`)
mà `hat{BIA} = hat{BAI}`
`-> hat{HAI} = hat{CAI}`
hay `AI` là tia phân giác của `hat{HAC}`
$\\$
$\\$
$c,$
Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}KI⊥BC\\AH⊥BC\end{array} \right.\)
$→ KI//AH$
`-> hat{AFK} = hat{BKI}` (2 góc so le trong)
mà `hat{AKF} = hat{BKI}` (Vì `ΔABK = ΔIBK`)
`-> hat{AFK} = hat{AKF} (= hat{BKI})`
`-> ΔAFK` cân tại `A`
$\\$
Xét `ΔKIC` vuông tại `I` có :
`KC` là cạnh lớn nhất
`-> KC > KI`
mà `KI = AK` (Vì `ΔABK = ΔIBK`)
`-> AK < KC`
mà `AF = AK` (Vì `ΔAFK` cân tại `A`)
`-> AF < KC`
$\\$
$\\$
$d,$
Xét `ΔMAI` và `ΔCAI` có :
`hat{MAI} = hat{CAI}` (Vì `AI` là tia phân giác của `hat{MAC}`)
`AM = AC` (giả thiết)
`AI` chung
`-> ΔMAI = ΔCAI` (cạnh - góc - cạnh)
`-> hat{FMI} = hat{KCI}` (2 góc tương ứng)
và `MI = CI` (2 cạnh tương ứng)
$\\$
Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}FM = AM - AF\\KC = AC - AK\end{array} \right.\)
mà `AF = AK, AM = AC`
`-> FM = KC`
$\\$
Xét `ΔFIM` và `ΔKIC` có :
`hat{FMI} = hat{KCI}` (chứng minh trên)
`MI = CI` (chứng minh trên)
`FM = KC` (chứng minh trên)
`-> ΔFIM = ΔKIC` (cạnh - góc - cạnh)
`-> hat{MIF} = hat{CIK}` (2 góc tương ứng)
mà `hat{CIK} = 90^o`
`-> hat{MIF} = 90^o`
hay`IM⊥IF`
