Từ $B$ kẻ $BE//AC\,(E\in CK)$
Ta có: $AB = BK\quad (gt)$
$\Rightarrow CE = EK$
Trên tia đối của tia $DC$ lấy điểm $F$ sao cho $DF=DC$
$\Rightarrow BCAF$ là hình bình hành
$\Rightarrow BF //AC$
mà $BE//AC$ (cách dựng)
nên $F,B,E$ thẳng hàng
$\Rightarrow FE$ là trung tuyến ứng với cạnh $CK\quad (CE = EK)$
Ta lại có: $KD$ là trung tuyến ứng với cạnh $FC\quad (CD = DF)$
$\Rightarrow B$ là trọng tâm $∆CFK$
$CB$ cắt $FK$ tại $H$
$\Rightarrow FH = HK$ $(1)$
Mặt khác:
$FB=AC$ ($BCAF$ là hình bình hành)
$AB = AC\quad (gt)$
$AB = BK\quad (gt)$
$\Rightarrow FB = AB = BK$
$\Rightarrow AFK$ vuông tại $F$
$\Rightarrow AF\perp FK$
mà $AF//CB$ ($BCAF$ là hình bình hành)
nên $CB\perp FK$
hay $CH\perp FK$ $(2)$
$(1)(2)\Rightarrow ∆CFK$ cân tại $C$
$\Rightarrow CF = CK$
Ta lại có: $CD = DF = \dfrac{1}{2}CF$
$\Rightarrow CD = \dfrac{1}{2}CK$
