`=>`
`a.` Ta có:
$+)$ `BD⊥AC => \hat{ADB}=\hat{D_1}=90^o`
$+)$ `CE⊥AB => \hat{AEC}=\hat{E_1}=90^o`
Vì `\Delta ABC` cân tại `A`
`=> AB=AC`
Xét `\Delta ADB` và `\Delta AEC` có:
`\hat{ADB}=\hat{AEC} (=90^o)`
`AB=AC` (cmt)
`\hat{EAC}` là góc chung
`=> \Delta ADB=\Delta AEC` (cạnh huyền _ góc nhọn)
`=> AE=AD` (2 cạnh tương ứng)
`=> \Delta AED` cân tại `A`.
Vậy `\Delta AED` cân tại `A`.
`b.` Vì `\Delta ABC` cân tại `A`
`=> \hat{ABC}=\hat{ACB}=\frac{180^o- \hat{A}}{2} (1)`
Vì `\Delta AED` cân tại `A`
`=> \hat{AED}=\hat{ADE}=\frac{180^o-\hat{A}}{2} (2)`
Từ `(1)` và `(2)`
`=> \hat{AED}=\hat{ABC}`
Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị
`=> DE` // `BC`
Vậy `DE` // `BC`.
`c.` Theo phần `a`: `\Delta ADB=\Delta AEC`
`=> \hat{B_1}=\hat{C_1}` (2 góc tương ứng)
Ta có:
$+)$ `AE+BE=AB`
$+)$ `AD+CD=AC`
Mà `AB=AC; AE=AD`
`=> BE=CD`
Xét `\Delta EIB` và `\Delta DIC` có:
`\hat{E_1}=\hat{D_1} (=90^o)`
`BE=CD` (cmt)
`\hat{B_1}=\hat{C_1}` (cmt)
`=> \Delta EIB=\Delta DIC (g.c.g)`
`=> IB=IC` (2 cạnh tương ứng)
Vậy `IB=IC`.
`d.` Gọi `H` là giao điểm của `AI` và `BC`
Xét `\Delta AIB` và `\Delta AIC` có:
`AB=AC` (cmt)
`AI` là cạnh chung
`IB=IC` (cmt)
`=> \Delta AIB=\Delta AIC (c.c.c)`
`=> \hat{A_1}=\hat{A_1}` (2 góc tương ứng)
Xét `\Delta AHB` và `\Delta AHC` có:
`AB=AC` (cmt)
`\hat{A_1}=\hat{A_2}` (cmt)
`AH` là cạnh chung
`=> \Delta AHB=\Delta AHC (c.g.c)`
`=> \hat{H_1}=\hat{H_2}` (2 góc tương ứng)
Mà `\hat{H_1}=\hat{H_2}=180^o` (2 góc kề bù)
`=> \hat{H_1}=\hat{H_2}=180^o/2=90^o`
`=> AH⊥BC`
`=> AI⊥BC`
Vậy `AI⊥BC`.
