Đáp án:
`a,`
Xét `ΔBCD` và `ΔMAD` có :
`BD = DM` (giả thiết)
`AD = DC` (Do `D` là trung điểm của `AC`)
`hat{ADM} = hat{CDB}` (2 góc đối đỉnh)
`-> ΔBCD = ΔMAD` (cạnh - góc - cạnh)
$\\$
$\\$
$b,$
Xét `ΔADB` và `ΔCDM` có :
`hat{ADB} = hat{CDM}` (2 góc đối đỉnh)
`AD = DC` (Do `D` là trung điểm của `AC`)
`BD = DM` (giả thiết)
`-> ΔADB = ΔCDM` (cạnh - góc- cạnh)
`-> AB = MC` (2 cạnh tương ứng)
mà `AB = AC` (Do `ΔABC` cân tại `A`)
`-> MC = AC (= AB)`
`-> ΔAMC` cân tại `C`
$\\$
$\\$
$c,$
Do `ΔADB = ΔCDM` (chứng minh trên)
`-> hat{BAD} = hat{DCM}` (2 góc tương ứng)
mà 2 góc này ở vị trí so le trong)
$→ AB//CM$
Gọi `K` là giao của `DN` và `AB (K ∈ AB)`
Xét `ΔADK` và `ΔCDN` có :
`AD = CD` (Do `D` là trung điểm của `AC`)
`hat{KAD} = hat{DCN}` (Do $AB//CM$)
`hat{ADK} = hat{NDC}` (2 góc đối đỉnh)
`-> ΔADK = ΔCDN` (góc - cạnh - góc)
`-> DN = DK` (2 cạnh tương ứng)
hay `D` là trung điểm của `KN`
`-> DN = 1/2 KN`
`-> KN = 2DN`
$\\$
Do `ΔADM = ΔCDB` (chứng minh trên)
`-> hat{DAM} = hat{DCB}` (2 góc tương ứng)
mà 2 góc này ở vị trí so le trong
$→ AM//BC$
Có : \(\left\{ \begin{array}{l}AM//BC\\KN//BC\end{array} \right.\)
$→ AM//KN$
Xét `ΔANM` và `ΔNAK` có :
`hat{KAN} = hat{ANM}` (Do $AB//MC$)
`hat{KNA} = hat{MAN}` (Do $AM//KN$)
`AN` chung
`-> ΔANM = ΔNAK` (góc - cạnh - góc)
`-> AM = KN` (2 cạnh tương ứng)
mà `KN = 2 DN` (chứng minh trên)
`-> AM = 2DN`
$\\$
Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔAGM` có :
`GM + GA > AM`
mà `AM = 2 DN` (chứng minh trên)
`-> GM + GA > 2ND`
