a) Xét `ΔABM` và `ΔACM` có:
`∠AMB = ∠AMC = 90^o`
AB = AC (vì `ΔABC` cân tại A)
AM cạnh chung
`=> ΔABM = ΔACM` (cạnh huyền - cạnh góc vuông) (1)
`=> BM = CM` (2 cạnh tương ứng)
`=> M` là trung điểm của BC (2)
Từ (1), (2)
`=>` đpcm
b) Ta có: AM là đường cao của `ΔABC` cân tại A
`=> AM` cũng là tia phân giác của `∠BAC`
`=> ∠BAM = ∠CAM`
Xét `ΔABM` và `ΔACM` có:
AB = AC (cmt)
`∠BAE = ∠CAE` (cmt)
AE cạnh chung
`=> ΔABE = ΔACE (c.g.c)` (3)
`=> ∠ABE = ∠ACE` (2 góc tương ứng)
`=> ∠ABE = 90^o => AB ⊥ BE` (4)
Từ (3), (4)
`=>` đpcm
c) Ta có: `AM ⊥ CB ; DF ⊥ BC`
`=>` AM // DF (định lí)
`=> ∠CAE = ∠D` (2 góc so le trong)
Xét `ΔACE` và `ΔDCF` có:
`∠DCF = ∠ACE` (2 góc đối đỉnh)
AC = CD (gt)
`∠CAE = ∠D` (cmt)
`=> ΔACE = ΔDCF (c.g.c)`
`=> CE = CF` (2 cạnh tương ứng)
`=> C` là trung điểm của EF (đpcm)
d) Gọi giao điểm của BC và DF là G
Ta có: `AC = CD = 10cm`
`BC = 12cm`
Vì M là trung điểm của BC nên `CM = 1/2BC = 1/2 . 12 = 6 (cm)`
Xét `ΔACM` và `ΔCDG` có:
`∠AMC = ∠CGD = 90^o`
AC = AC (gt)
`∠CAM = ∠CDG` (cmt)
`=> ΔACM = ΔDCG` (cạnh huyền - góc nhọn)
`=> CM = CG` (2 cạnh tương ứng)
Mà `CM = 6cm => CG = 6cm`
Xét `ΔCDG` vuông tại G có: `CD^2 = CG^2 + DG^2` (định lí Pytago)
`=> DG^2 = CD^2 - CG^2 = 64`
`=> DG = \sqrt{64} = 8 (cm)`
Lại có: DF = AE (vì `ΔACE = ΔDCF`)
AM = DG (vì `ΔACM = ΔDCG`)
`=> DF - DG = AE - AM`
`=> FG = EM`
Mà `EM = 4,5cm => FG = 4,5cm`
`=> DF = DG + GF = 8cm + 4,5cm = 12,5cm`
