a, Xét hai tam giác vuông ΔABD và ΔACD ta có:
AB = AC
AD chung
=> ΔABD = ΔACD ( cạnh huyền - cạnh góc vuông)
=> \(\widehat{BAD}\) = \(\widehat{CAD}\)
=> AD là phân giác \(\widehat{A}\)
b, Xét ΔBAI và ΔCAI ta có:
AI chung
AB = AC
\(\widehat{BAI}\) = \(\widehat{CAI}\) ( cm câu a)
=> ΔBAI = ΔCAI
=> IB = IC
=> I là trung điểm của BC
c, Xét hai tam giác vuông ΔABD và ΔMBD ta có:
BD chung
AB = BM
=> ΔABD = ΔMBD ( cạnh huyền - cạnh góc vuông)
=> AD = MD
=> ΔADM cân tại D
Tương tự ta chứng minh được ΔACD = ΔNCD
=> AD = ND
=> ΔAND cân tại D
d, Ta có: AB = AC
MB = NC
=> AB + MB = AC + NC
=> AM = AN
=> AMN cân tại A
Xét ΔABC cân tại A
=> \(\widehat{ABC}\) = \(\frac{180^{\circ} - \widehat{BAC}}{2}\) (1)
Xét ΔAMN cân tại A
=> \(\widehat{AMN}\) = \(\frac{180 ^{\circ} - \widehat{BAC}}{2}\) (2)
Từ (1) và (2) => \(\widehat{ABC}\) = \(\widehat{AMN}\)
mà hai góc này ở vị trí đồng vị
=> BC // MN
e, Gọi K là trung điểm của MN
Xét ΔAMK và ΔANK ta có:
AM = AN
AK chung
MK = NK
=> ΔAMK = ΔANK (c-c-c)
=> \(\widehat{MAK}\) = \(\widehat{NAK}\)
=> AK là phân giác \(\widehat{BAC}\)
mà AD cũng là phân giác của \(\widehat{BAC}\)
=> AD và AK trùng nhau
=> A,D, K thẳng hàng
=> AD đi qua trung điểm của MN