Đáp án:
$\\$
`1,`
Do `BM` là đường trung tuyến
`-> M` là trung điểm của `AC`
`-> CM = 1/2 AC` `(1)`
Do `CN` là đường trung tuyến
`-> N` là trung điểm của `AB`
`-> BN = 1/2 AB` `(2)`
Do `ΔABC` cân tại `A`
`-> AB = AC` `(3)`
Từ `(1), (2), (3)`
`-> BN = CM`
Do `ΔABC` cân tại `A`
`-> hat{B} = hat{C}` (t/c)
Xét `ΔBNC` và `ΔCMB` có :
`BN =CM` (chứng minh trên)
`BC` chung
`hat{B} = hat{C}` (chứng minh trên)
`-> ΔBNC = ΔCMB` (cạnh - góc - cạnh)
$\\$
$\\$
`2,`
Do `ΔBNC = ΔCMB` (chứng minh trên)
`-> hat{BCN} = hat{CBM}` (2 góc tương ứng)
hay `hat{BCK} = hat{CBK}`
`-> ΔBKC` cân tại `K`
$\\$
$\\$
`3,`
Xét `ΔABC` có :
`BM` là đường trung tuyến
`CN` là đường trung tuyến
`BM` cắt `CN` tại `K`
`-> K` là trọng tâm của `ΔABC`
`BM` là đường trung tuyến
`-> (BK)/(KM) = 2/1 = 2`
`-> BK = 2KM`
Do `ΔBKC` cân tại `K`
`-> BK = CK`
mà `BK = 2KM`
`-> CK = 2KM`
Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔBKC` có :
`BK + CK > BC`
mà `BK =2KM, CK = 2KM`
`-> BC < 2KM + 2KM`
`-> BC < (2 + 2)KM`
`-> BC < 4KM`