Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B lấy điểm D sao cho Δ DAC đều ⇒ $\left \{ {{DA=DC=AC} \atop {góc DAC= góc DCA=góc ADC=60 độ}} \right.$
Xét ΔABC có :
góc BAC + góc ABC + góc ACB = 180 độ (định lý tổng ba góc trong tam giác )
mà góc ABC= 80 độ ; góc BAC= góc ACB (vì Δ ABC cân tại B)
⇒ góc BAC = góc ACB = (180 độ - 80 độ ) : 2 = 50 độ
Ta có : $\left \{ {{góc DAB+ góc BAC= góc DAC} \atop {góc DCB + gócBCA= góc DCA}} \right.$
⇒$\left \{ {{góc DAB + 50 độ = 60 độ} \atop {góc DCB+50 độ = 60 độ}} \right.$
⇒$\left \{ {{gócDAB=10 độ} \atop {gócDCB=10độ}} \right.$
⇒ góc DAB=góc DAC = 10 độ
Xét ΔDBA và Δ DBC có :
DA=DC ( vì Δ DAC đều)
góc DAB=góc DCB (chứng minh trên)
BA=BC(vì Δ ABC cân tại B)
⇒ΔDAB=ΔDCB(c.g.c)
⇒ góc ADB=góc CDB(tương ứng)
mà góc ADB+góc CDB=góc ADC=60 độ
⇒ góc ADB= góc CDB = 30 độ
Xét Δ BAD và Δ IAC có :
DA=DC( vì Δ DAC đều)
góc DAB= góc IAC = 10 độ
góc ADC = góc ICA = 30 độ
⇒Δ BAD=Δ IAC(g.c.g)
⇒AB=AI (tương ứng)
⇒Δ AIB cân tại A
⇒ góc ABI=góc AIB
Xét Δ AIB có :
góc BAI + góc ABI + góc AIB = 180 độ (định lý tổng ba góc trong tam giác)
mà góc BAI + góc IAC = góc BAC ⇒ góc BAI = 50 độ - 10 độ = 40 độ
góc ABI = góc AIB (chứng minh trên )
⇒ góc ABI = góc AIB =(180 độ - 40 độ ) : 2 = 70 độ
Vậy góc ABI=70 độ
