Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a, có ΔABC cân tạ C
=> CH đồng thời là đường trung tuyến
mà CH giao với AN tại I
=> I là trọng tâm của ΔABC
=>CI= $\frac{2}{3}$CH ⇔ CI= $\frac{2}{3}$.√2 ⇔CI=2√2/3
b,
áp dụng Py ta go cho Δ CHB vuông H có CH²+HB²=CB² => CB =√11 /2
Δ ABC có AN là tt ; CH là tt mà CH cắt AN tại I => I trọng tâm
=> $\frac{AI}{AN}$ = $\frac{2}{3}$ (1)
xét tam giác CHB có CM tt ; HN tt ( do N tđ CB) và CM cắt HN tại L ( tự thêm vào )
=> L trọng tâm
=> $\frac{NL}{NH}$ = $\frac{1}{3}$ mà NH = $\frac{1}{2}$CA ( tính chất đường trung bình Δ )
=> $\frac{NL}{CA}$ = $\frac{1}{6}$ = $\frac{KL}{KC}$
theo định lí ta lét trong Δ CAK (CA //NL)
=> $\frac{NL}{CA}$ = $\frac{NK}{KA}$ = $\frac{1}{6}$ (2)
(1) và (2) có AI = $\frac{2}{3}$ AN
=>AI = $\frac{2}{3}$ . (AK +KN)
=> AI =$\frac{2}{3}$ . (AK + $\frac{1}{6}$ AK) (do KN = $\frac{1}{6}$ AK)
=>AI = $\frac{7}{9}$ AK
có AI²=AH²+HI² =$\frac{3}{4}$ +$\frac{2}{9}$ =$\frac{35}{36}$ => AI = $\frac{\sqrt{35} }{6}$
AK = $\frac{9}{7}$ . $\frac{\sqrt{35} }{6}$ = 3$\frac{\sqrt{35} }{14}$
Lại có $\frac{KM}{KC}$ = $\frac{MN}{CI}$
mà MN = $\frac{1}{2}$ CH và CI = $\frac{2}{3}$ CH
=> MN = $\frac{3}{4}$ CI
ta được $\frac{KM}{KC}$ = $\frac{3}{4}$ = $\frac{NK}{KI}$
có $\frac{CL}{CM}$= $\frac{2}{3}$
=> (CK +KL) /CM = $\frac{2}{3}$
=>( KC +$\frac{1}{6}$KC)/CM = $\frac{2}{3}$
=> $\frac{KC}{CM}$ = $\frac{4}{7}$
có KM =$\frac{3}{7}$ CM
mà CM²= CH²+HM² = 2+3/16 =35/16
=> CM =$\frac{\sqrt{35} }{4}$
mà KM = $\frac{3}{7}$ . $\frac{\sqrt{35} }{4}$ = $\frac{3\sqrt{35} }{28}$
ta đc KA =2 KM
