c) Xét Δ ABC có AE, BD là các đường trung tuyến
Có AE cắt BD tại M
⇒ M là trọng tâm của tam giác ABC
⇒ CM cũng là đường trung tuyến của Δ ABC cân tại C
⇒ CM đồng thời là đường cao của Δ ABC
⇒ CM ⊥ AB
mà CM cắt AB tại I
⇒ CI ⊥ AB
MI ⊥ AB
hay IM ⊥ AB ( đpcm )
#) Xét Δ ABC cân tại C: có CM là đường trung tuyến, M là trọng tâm của Δ ABC và CM cắt AB tại I
⇒ I là trung điểm của AB
⇒ IB = $\frac{AB}{2}$ = $\frac{24}{2}$ = 12 ( cm )
Ta có CI ⊥ AB ⇒ Δ CID vuông tại I
Áp dụng định lí pytago vào Δ CIB vuông tại I có
$BC^{2}$ = $CI^{2}$ + $IB^{2}$
⇒ CI = √81 = 9 ( cm )
mà M là trọng tâm của tam giác ABC
IM = $\frac{1}{3}$ . IC = $\frac{1}{3}$ . 9 = 3 ( cm )
d) Trên tia đối của tia IC lấy điểm H sao cho IC = IH
Xét Δ AIH và Δ CIB có
IH = IC
∠IAH = ∠CIB ( đối đỉnh )
IA = IB
⇒ Δ AIH = Δ CIB ( c-g-c )
⇒ AH = CB ( 2 cạnh tương ứng )
Xét Δ ACH có: CH < AC + AH
mà CH = ; AH =bc
⇒ 2 . CI < AC + BC (3)
Chứng minh tương tự ta có:
2 . AE < AC + AB (4)
2 . BD < AB + BC (5)
Từ (3), (4), (5) ⇒ 2 . ( CI + AE + BD ) < 2 . ( AB + AC + BC )
⇒ AB + AC + BC > CI + AE + BD
⇒ AB+2BC > CI+2AE (đpcm)
Hình vẽ
