a) Tứ giác $BMCD$ có $CM\parallel DB$ và $BM\parallel CD$
$\Rightarrow BMCD$ là hình hình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Do $\Delta ABC$ có $CD$ là đường cao $\Rightarrow \widehat{CDB}=90^o$
$\Rightarrow BMCD$ là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
b) Tứ giác $CMDA$ có $CM\parallel DB$ (do tứ giác $CMBD$ là hình chữ nhật chứng minh câu a)
Mà $DB=AD$
Từ 2 điều trên suy ra $CM\parallel AD\Rightarrow CMDA$ là hình bình hành
$\Rightarrow AC\parallel DM$
$\Rightarrow NC\parallel DM$
$\Rightarrow CMDN$ là hình thang.
c) Để tứ giác $CMDN$ là hình thang cân thì $CM=ND$
Ta có: $DN$ là đường trung bình $\Delta ABC\Rightarrow DN=\dfrac{1}{2}CB$
mà $CM=\dfrac{1}{2}AB$
Để $CM=DN$ thì $\dfrac{1}{2}CB=\dfrac{1}{2}AB$
$\Rightarrow CB=AB\Rightarrow \Delta ABC$ đều thì $CMDN$ là hình thang cân
d) Gọi $DM\cap CB=I$
Ta chứng minh được $\Delta ICM=\Delta NDA$ (c.c.c)
$\Rightarrow S_{CMDN}=S_{CIDN}+S_{ICM}=S_{CIDN}+S_{NDA}$
$=S_{CIDA}=S_{ABC}-S_{IBD}$
Gọi $IH\bot AB\Rightarrow \dfrac{IH}{CD}=\dfrac{1}{2}$ (do $I$ là trung điểm của $CB$, $IH\parallel CD$ vì cùng $\bot AB$ nên $IH$ là đường trung bình $\Delta BCD$)
Mà $S_{IBD}=\dfrac{1}{2}IH.DB=\dfrac{1}{2}\dfrac{CD}{2}.\dfrac{AB}{2}=\dfrac{S_{ABC}}{4}=\dfrac{12}{4}=3cm^2$
$\Rightarrow S_{CMDN}=12-3=9cm^2$
