Lời giải:
Ta có: $AM\perp BN\quad (gt)$
Gọi $G$ là giao điểm của $AM$ và $BN$
$\Rightarrow \begin{cases}\text{$G$ là trọng tâm $\triangle ABC$}\\\triangle ABG\ \text{vuông tại $G$}\\\triangle ANG\ \text{vuông tại $G$}\\\triangle BMG\ \text{vuông tại $G$}\end{cases}$
Áp dụng tính chất trọng tâm, ta được:
$\quad \begin{cases}GM =\dfrac12AG\\GN = \dfrac12BG\end{cases}$
$\Rightarrow \begin{cases}GM^2=\dfrac14AG^2\\GN^2=\dfrac14BG^2\end{cases}$
Bên cạnh đó:
$M,\ N$ là trung điểm $BC,\ AC$
$\Rightarrow \begin{cases}BM = \dfrac12BC\\AN = \dfrac12AC\end{cases}$
$\Rightarrow \begin{cases}BM^2 = \dfrac14BC^2\\AN^2= \dfrac14AC^2\end{cases}$
Áp dụng định lý $Pythagoras$ vào $\triangle BMG$ vuông tại $G$ ta được:
$\quad BG^2 = BM^2 - MG^2$
$\Leftrightarrow BG^2 = \dfrac14BC^2 - \dfrac14AG^2$
Áp dụng định lý $Pythagoras$ vào $\triangle ANG$ vuông tại $G$ ta được:
$\quad AG^2 = AN^2 - NG^2$
$\Leftrightarrow AG^2 = \dfrac14AC^2 - \dfrac14BG^2$
Áp dụng định lý $Pythagoras$ vào $\triangle ABG$ vuông tại $G$ ta được:
$\quad AB^2 = BG^2 + AG^2$
$\Leftrightarrow AB^2 = \dfrac14BC^2 - \dfrac14AG^2 + \dfrac14AC^2 - \dfrac14BG^2$
$\Leftrightarrow 4AB^2 = BC^2 + AC^2 - (AG^2 + BG^2)$
$\Leftrightarrow 4AB^2 = BC^2 + AC^2 - AB^2$
$\Leftrightarrow 5AB^2 = BC^2 + AC^2$
