a, Xét (O), đường kính BC có:
+ D ∈ (O) ⇒ $\widehat{BDC}=90°$(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒ BD ⊥ AC ⇒ $\widehat{HDC}=90°$
+ E ∈ (O) ⇒ $\widehat{BEC}=90°$(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒ CE ⊥ AB ⇒ $\widehat{HEB}=90°$
Xét ΔABC có:
BD ⊥ AC (cmt)
CE ⊥ AB (cmt)
BD cắt CE tại H
⇒ H là trực tâm của ΔABC
⇒ AH ⊥ BC
⇒ AK ⊥ BC
⇒ $\widehat{AKB}=\widehat{AKC}=90°$ Hay $\widehat{HKB}=\widehat{HKC}=90°$
Xét tứ giác BEHK có: $\widehat{HKB}+\widehat{HEB}=90°+90°=180°$
Mà hai góc này ở vị trí đối nhau
⇒ Tứ giác BEHK nội tiếp đường tròn đường kính BH
⇒ $\widehat{HKE}=\widehat{HBE}$ (hai góc nội tiếp chắn $\overparen{HE}$)
Hay $\widehat{EKA}=\widehat{DBE}$
Xét tứ giác DHKC có: $\widehat{HKC}+\widehat{HDC}=90°+90°=180°$
Mà hai góc này ở vị trí đối nhau
⇒ Tứ giác DHKC nội tiếp đường tròn đường kính HC
⇒ $\widehat{HKD}=\widehat{HCD}$ (hai góc nội tiếp chắn $\overparen{HE}$)
Hay $\widehat{DKA}=\widehat{ECD}$
Xét tứ giác BCDE có: $\widehat{BDC}=\widehat{BEC}=90°$
Tứ giác có hai đỉnh D và E cùng nhìn BC dưới một góc vuông
⇒ Tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn đường kính BC
⇒ $\widehat{EBD}=\widehat{ECD}$ (hai góc nội tiếp chắn $\overparen{ED}$)
Mà $\widehat{EKA}=\widehat{DBE}$ (cmt), $\widehat{DKA}=\widehat{ECD}$ (cmt)
⇒ $\widehat{EKA}=\widehat{DKA}$
⇒ KA là phân giác $\widehat{EKD}$
