Giải thích các bước giải:
a) Vì C thuộc đường tròn đường kính AI
$\Rightarrow $ AC⊥CI
Vì BE⊥AC
$\Rightarrow $ BE//CI
Tương tự: CF//BI
$\Rightarrow $ Tứ giác BHCI là hình bình hành (đpcm)
b) Vì BHCI là hình bình hành
$\Rightarrow $ HI và BC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
$\Rightarrow $ M là trung điểm HI (do M là trung điểm của BC)
Xét tam giác AHI có: M, O là trung điểm của HI, AI
$\Rightarrow $ MO là đường trung bình của tam giác HAI
$\Rightarrow $ MO=$\dfrac{1}{2}$AH (đpcm)
c) Xét tam giác BHD có: $\widehat{HDB}=90^\circ $
$\Rightarrow \widehat{BHD}+\widehat{HBD}=90^\circ $
Tương tự: $\widehat{HAE}+\widehat{AHE}=90^\circ $
Vì $\widehat{BHD}=\widehat{AHE}$ (2 góc đối đỉnh)
$\Rightarrow \widehat{HBD}=\widehat{HAE}$
Xét $\vartriangle $BHD và $\vartriangle $ACD có:
$\Rightarrow \widehat{HDB}=\widehat{ADC}=90^\circ $, $\widehat{HBD}=\widehat{HAE}$ (cmt)
$\Rightarrow $ $\vartriangle $BHD $ \sim $ $\vartriangle $ACD
$\Rightarrow $ $\dfrac{{BD}}{{AD}} = \dfrac{{HD}}{{DC}}$
$\Rightarrow $ DB.DC = AD.HD (đpcm)
d) Vì G là trọng tâm tam giác ABC
$\Rightarrow $ AG=2GM
Gọi AM cắt HO tại G'
Theo định lý Talet với OM//AH ta có:
$\dfrac{{AH}}{{OM}} = \dfrac{{AG'}}{{G'M}}$
$\Rightarrow $ AG'=2G'M
$\Rightarrow $ G≡G'
$\Rightarrow $ H, G, O thẳng hàng (đpcm)
