a) Tứ giác $BHCK$ có 2 đường chéo $HK$ và $BC$ cắt nhau tại trung điểm $M$ của mỗi đường
Do đó tứ giác $BHCK$ là hình bình hành
b) Tứ giác $BHCK$ là hình bình hành
$\Rightarrow BK\parallel CH$
Mà $CH\bot AB$
$\Rightarrow BK\bot AB$ (đpcm)
c) Gọi $J=BC\cap HI$
Xét $\Delta BHI$ có $BJ$ vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao nên $\Delta BHI$ cân đỉnh B
$\Rightarrow BJ$ là đường phân giác của $\widehat{HBI}$
$\Rightarrow \widehat{IBC}=\widehat{HBC}$
mà $\widehat{HBC}=\widehat{KCB}$ (hai góc ở vị trí so le trong do BH//CK)
Từ 2 điều trên $\Rightarrow\widehat{IBC}=\widehat{KCB}$ (*)
$\Delta HIK$ có $JM$ là đường trung bình của tam giác, nên $JM//IK$
Hay $BC//IK\Rightarrow BIKC$ là hình thang (**)
Từ (*) và (**) suy ra $BIKC$ là hình thang cân.
d) Tứ giác $GHCK$ có $GK\parallel HC$
Do đó $GHCK$ là hình thang
Để $GHCK$ là hình thang cân thì $\widehat{GHC}=\widehat{KCH}$
mà $\widehat{KCH}=\widehat{HBK}$ (hai góc cùng bù $\widehat{BHC}$ do $BHCK$ là hình bình hành)
Từ hai điều trên $\Rightarrow\widehat{GHC}=\widehat{HBK}$
$\Delta HJC:\widehat{HCJ}=90^o-\widehat{GHC}$ (tổng ba góc trong tam giác bằng $180^o$)
$\widehat{ABH}=\widehat{ABK}-\widehat{HBK}=90^o-\widehat{HBK}$ ($BK\bot AB$)
Từ 3 điều trên suy ra $\widehat{HCJ}=\widehat{ABH}$
Mà $\Delta BCF:\widehat{FBC}=90^o-\widehat{HCJ}$
$\Delta ABE:\widehat{EAB}=90^o-\widehat{ABH}$
Từ 3 điều trên $\Rightarrow\widehat{FBC}=\widehat{EAB}$
hay $\widehat{CBA}=\widehat{CAB}$
$\Rightarrow \Delta ABC$ cân đỉnh $C$
$\Delta ABC$ cân đỉnh $C $ thì $GHCK$ là hình thang cân.
