Đáp án:
$x + y + 3 = 0$
Giải thích các bước giải:
Gọi $AD$ là đường phân giác của $\Delta ABC$ và $Ax$ là phân giác ngoài tam giác $ABC$
Ta có:
$\begin{array}{l}
A\left( { - 2; - 1} \right);B\left( { - 1;3} \right);C\left( {6;1} \right)\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} = \left( {1;4} \right)\\
\overrightarrow {AC} = \left( {8;2} \right)\\
\overrightarrow {BC} = \left( {7; - 2} \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AB = \sqrt {{1^2} + {4^2}} = \sqrt {17} \\
AC = \sqrt {{8^2} + {2^2}} = 2\sqrt {17} \\
BC = \sqrt {{7^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = \sqrt {53}
\end{array} \right.
\end{array}$
Lại có:
$AD$ là phân giác của $\Delta ABC$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \dfrac{{DB}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{\sqrt {17} }}{{2\sqrt {17} }} = \dfrac{1}{2}\\
\Rightarrow \dfrac{{DB}}{{BC}} = \dfrac{1}{3}\\
\Rightarrow \overrightarrow {BD} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {BC} \\
\Rightarrow \overrightarrow {BD} = \left( {\dfrac{7}{3};\dfrac{{ - 2}}{3}} \right)\\
\Rightarrow D\left( {\dfrac{4}{3};\dfrac{7}{3}} \right)\\
\Rightarrow \overrightarrow {AD} = \left( {\dfrac{{10}}{3};\dfrac{{10}}{3}} \right)
\end{array}$
Do tính chất của đường phân giác trong và phân giác ngoài của một góc trong tam giác nên $Ax\bot AD=A$
$\to \overrightarrow {{n_{Ax}}} = \left( {1;1} \right)$
Như vậy:
Đường phân giác ngoài $Ax$ đi qua $A(-2;-1)$ nhận $\overrightarrow {{n_{Ax}}} = \left( {1;1} \right)$ là vecto pháp tuyến có phương trình là:
$1\left( {x + 2} \right) + 1\left( {y + 1} \right) = 0$ hay $x + y + 3 = 0$
Vậy phương trình đường phân giác ngoài góc $A$ của tam giác $ABC$ là : $x + y + 3 = 0$
