Giải thích các bước giải:
a) Xét ΔABC có:
$\begin{array}{l} A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25\\ B{C^2} = {5^2} = 25 \end{array}$
$ \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$
=> ΔABC vuông tại A
=> ∠BAC=90$^\circ $
b) Vì AH là đường cao
=> ${S_{ABC}} = \frac{{AH.BC}}{2} = \frac{{AB.AC}}{2}$
$\begin{array}{l} {S_{ABC}} = \frac{{AH.BC}}{2} = \frac{{AB.AC}}{2}\\ AH.BC = AB.AC\\ \Rightarrow AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{3.4}}{5} = 2,4cm \end{array}$
c) Vì A, B∈(O)
=>∠BAO=∠ABO
Vì A, C∈(I)
=> ∠IAC=∠ICA
=> ∠BAO+∠IAC+∠BAC=∠ABO+∠ICA+90$^\circ $
=>∠IAO=∠ABO+∠ICA+(∠ABC+∠BCA)
=>∠IAO=∠IAB+∠OBC
Vì (O) tiếp xúc BC tại B
=> ∠OBC=90$^\circ $
Tương tự: ∠IAB=90$^\circ $
=>∠IAO=180 $^\circ $
=> IA+AO=IO
=> (O) tiếp xúc (I) tại A(đpcm)
d) Vì M là trung điểm BC
=> AM=BC/2
=> AM=BM=CM
=> M thuộc đường trung trực của AB và AC
Vì C, A∈(I)
=> CI=AI
=> I thuộc đường trung trực CA
=> IM là trung trực AC
=> IM⊥CA
Mà AC⊥AB
=> IM//AB
Tương tự: MO⊥AB
=> IM⊥MO
=> ΔIMO vuông tại M
Đường tròn đường kính BC có tâm M, bán kính MB=MA
Xét ΔAMO và ΔBMO có:
AO chung
AO=BO(cmt)
AM=BM(cmt)
=> ΔAMO = ΔBMO(c-c-c)
=> ∠MAO=∠MBO=90$^\circ $
=> MA⊥IO
=> IO là tiếp tuyến của đường tròn tâm M hay đường tròn đường kính BC(đpcm)
