Giải thích các bước giải:

Sửa đề: `BC = 5cm`

a, `ΔABC` có: $\begin{cases} AB^2=3^2=9\\AC^2=4^2=16\\BC^2=5^2=25\end{cases}$

`=> AB^2 + AC^2 = 9 + 16 = 25 = BC^2`

`=> ΔABC` vuông tại `A` (theo ĐL Pytago đảo)

b, Xét `ΔABD` và `ΔEBD` có:

         `AB = BE(g t)`

         `\hat{ABD}=\hat{EBD}(g t)`

         `BD:chung`

`⇒ ΔABD = ΔEBD (c.g.c)`

`=> AD = DE` (2 cạnh tương ứng)

c, `ΔABD=ΔEBD(cmt)`

`=> \hat{ADB}=\hat{EDB}` (2 góc tương ứng)

`=> \hat{BDC}=\hat{BDF}` (lần lượt kề bù với `\hat{ADB}` và `\hat{EDB}`)

Xét `ΔBDC` và `ΔBDF` có:

       `\hat{CBD}=\hat{FBD}(g t)`

       `BD:chung`

       `\hat{BDC}=\hat{BDF}(cmt)`

`=> ΔBDC = ΔBDF (g.c.g)`

`=> BC=BF` (2 cạnh tương ứng)

`=> ΔFBC` cân tại `B`

`=> BD` là đường p/g đồng thời là đường cao của `ΔFBC`

`=> BD ⊥ FC`

d, `ΔBDC = ΔBDF(cmt) → DC=DF` (2 cạnh tương ứng0

Áp dụng $BĐT$ tam giác vào `ΔCDF`, ta có:  `DF + DC > FC`

Áp dụng $BĐT$ tam giác vào `ΔADF` có:

     `AD + AF > DF`

`=> 2(AD + AF) > 2DF`

`=> 2(AD + AF) > DF + DC > FC`

Vậy `2(AD + AF > FC (đpcm)`

a) Sửa đề $BC=5cm$

Ta có: $AB^2+AC^2=3^+4^=9+16=25=5^2=BC^2$

$⇒ΔABC$ vuông tại $A$ (định lý Pytago đảo)

b) Xét $ΔABD$ và $ΔEBD$:

$BA=BE(gt)$

$\widehat{ABD}=\widehat{EBD}$ ($BD$ là phân giác $\widehat{B}$)

$BD:chung$

$⇒ΔABD=ΔEBD(c-g-c)$

$⇒DA=DE$ (2 cạnh tương ứng)

c) Xét $ΔBFC$:

$FE,AC$ là đường cao của $BC,BF$

mà $FE∩AC≡D$

$⇒D$ là trực tâm $ΔBFC$

$⇒BD$ là đường cao $FC$ (tính chất các đường đồng quy Δ cân)

$⇒BD⊥FC$

d) Giả sử: $BD$ cắt $FC$ tại $G$

$BD$ vừa là đường cao $FC$, vừa là phân giác $\widehat{B}$

$⇒ΔBFC$ cân tại $B$

$⇒BD$ là đường trung trực của $FC$

$⇒FC=2FG$

Áp dụng BĐT Δ vào $ΔADF⇒AD+AF>FD$

mà $FD>FG$ ($ΔDFG$ vuông tại $G$)

$⇒AD+AF>FG$

$⇒2.(AD+AF)>2.FG$

$⇒2.(AD+AF)>FC$