$\text{a) Vì AB = AC = 5cm}$ `->` $\text{ΔABC cân tại A}$ `->` `hat{B}` `=` `hat{C}`
$\text{Vì I là trung điểm của BC}$ `->` $\text{IB = IC =}$ $\frac{BC}{2}$ `=` $\frac{6}{2}$ `=` `3` `(cm)`
$\text{Xét ΔAIB và ΔAIC, ta có:}$
`hat{B}` `=` `hat{C}`
$\text{IB = IC}$
$\text{AB = AC}$
`->` $\text{ΔAIB = ΔAIC (c.g.c)}$
$\text{b) Vì ΔAIB = ΔAIC (đcmt)}$
`->` `hat{AIB}` `=` `hat{AIC}` $\text{(2 góc tương ứng)}$
$\text{Mà}$ `hat{AIB}` `+` `hat{AIC}` `=` `180^o` $\text{(2 góc kề bù)}$
`->` `hat{AIB}` `=` `hat{AIC}` `=` `180^o/2` `=` `90^o`
`->` $\text{AI ⊥ BC}$
$\text{Áp dụng định lý Py - ta - go cho ΔAIB, ta có:}$
`AI^2` `+` `IB^2` `=` `AB^2`
$\text{Hay:}$ `AI^2` `+` `3^2` `=` `5^2`
`->` `AI^2` `+` `9` `=` `25`
`->` `AI^2` `=` `25` `-` `9` `=` `16`
`->` `AI` `=` $\sqrt{16}$ `=` `4` `(cm)`
$\text{c) Vì ΔAIB = ΔAIC (đcmt)}$
`->` `hat{A_{1}} ` `=` `hat{A_{2}}` $\text{(2 góc tương ứng)}$
$\text{Xét ΔNAI và ΔMAI, ta có:}$
`hat{A_{1}} ` `=` `hat{A_{2}}`
$\text{Chung AI}$
`hat{INA} ` `=` `hat{IMA}` `=` `90^o`
`->` $\text{ΔNAI = ΔMAI (cạnh huyền - góc nhọn)}$
`->` $\text{IN = IM ( 2 cạnh tương ứng)}$
`->` $\text{ΔIMN cân tại I}$ `(1)`
$\text{Vì}$ `hat{A_{1}} ` `=` `hat{A_{2}}`
`->` $\text{AI là tia phân giác của}$ `hat{A}`
`->` `hat{A_{1}} ` `=` `hat{A_{2}}` `=` `hat{A}/2` `=` `120^o/2` `=` `60^o`
$\text{Có:}$ `hat{A_{1}} ` `+` `hat{INA}` `+` `hat{NIA}` `=` `180^o` $\text{(Tổng 3 góc trong một tam giác)}$
$\text{Hay:}$ `60^o` `+` `90^o` `+` `hat{NIA}` `=` `180^o`
`->` `hat{NIA}` `=` `180^o` `-` `60^o` `-` `90^o` `=` `30^o`
`hat{A_{2}} ` `+` `hat{IMA}` `+` `hat{MIA}` `=` `180^o` $\text{(Tổng 3 góc trong một tam giác)}$
$\text{Hay:}$ `60^o` `+` `90^o` `+` `hat{MIA}` `=` `180^o`
`->` `hat{MIA}` `=` `180^o` `-` `60^o` `-` `90^o` `=` `30^o`
$\text{Mà}$ `hat{NIA}` `+` `hat{MIA}` `=` `hat{MIN}`
`->` `hat{MIN}` `=` `30^o` `+` `30^o` `=` `60^o` `(2)`
$\text{Từ (1) và (2) suy ra ΔIMN là tam giác đều}$
$\boxed{\text{Selina}}$
