a) Ta có: `ΔABC` cân tại A (gt)

`=> AB = AC ; ∠ABC = ∠ACB`

Mà `∠ECN = ∠ACB => ∠ECN = ∠ABC`

Xét `ΔCEN` và `ΔBDM` có:

`CEN = ∠BDM (= 90^o)`

CE = BD (gt)

`∠ECN = ∠ABC` (cmt)

`=> ΔCEN = ΔBDM (g.c.g)`

`=> DM = EN` (2 cạnh tương ứng)

`=>` đpcm

b) Ta có: AB // KN (gt)

`=> ∠K = ∠ABD` (2 góc tương ứng)

Vì `∠ABD = KCN` (cmt) nên `∠KCN = ∠K`

`=> ΔCKN` cân tại N   (đpcm)

c) Ta có: `MD ⊥ BC ; NE ⊥ BC`

`=>` EN // DM (định lí)

`=> ∠ENI = ∠DMI` (2 góc so le trong)

Xét `ΔEIN` và `ΔDIM` có:

`∠IEN = ∠IDM (= 90^o)`

EN = DM (cmt)

`∠ENI = ∠DMI` (cmt)

`=> ΔDIM = ΔEIN (g.c.g)`

`=> IM = IN` (2 cạnh tương ứng)

`=> I` là trung điểm của MN   (đpcm)

d) Xét `ΔBDM` vuông tại D có: `BM^2 = DM^2 + BD^2` (định lí Pytago)

`=> BD^2 = BM^2 - DM^2 = 81`

`=> BD = \sqrt{81} = 9 (cm)`

Mà `BD = CE` (vì `ΔBDM = ΔECN`)

`=> CE = 9cm`

Ta có: NE là đường cao của `ΔCKN` cân tại N

`=> NE` cũng là đường trung tuyến

`=> CE = EN = 9cm`

`=> CK = CE + EN = 18cm`

Đáp án:

`a,`

Vì `ΔABC` cân tại `A`

`-> hat{B} = hat{ACB}`

mà `hat{ACB} = hat{NCE}` (2 góc đối đỉnh)

`-> hat{B} = hat{NCE}`

$\\$

Xét `ΔMBD` và `ΔNCE` có :

`hat{MDB} = hat{NEC} = 90^o`

`BD = CE` (giả thiết)

`hat{B} = hat{NCE}` (chứng minh trên)

`-> ΔMBD = ΔNCE` (góc - cạnh - góc)

`-> DM = DN` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

$\\$

$b,$

Vì $KN//AB$

`-> hat{K} = hat{B}` (2 góc so le trong)

mà `hat{B} = hat{NCE}` (chứng minh trên)

`-> hat{K} = hat{NCE} (= hat{K})`

`-> ΔCNK` cân tại `N`

$\\$

$\\$

$c,$

Có : \(\left\{ \begin{array}{l}NE⊥BC\\MD⊥BC\end{array} \right.\)

$→ NE//MD$

`-> hat{DMI} = hat{ENI}` (2 góc so le trong)

$\\$

Xét `ΔMID` và `ΔNIE` có :

`hat{MDI} = hat{NEI} = 90^o`

`DM = EN` (chứng minh trên)

`hat{DMI} = hat{ENI}` (chứng minh trên)

`-> ΔMDI = ΔNIE` (góc - cạnh - góc)

`-> MI = NI` (2 cạnh tương ứng)

hay `I` là trung điểm của `MN`

$\\$

$\\$

$d,$

Xét `ΔBMD` vuông tại `D` có :

`MD^2 + BD^2 = BM^2` (Pitago)

`-> BD^2 = BM^2-  MD^2 = 15^2 - 12^2`

`-> BD^2 = 9^2`

`-> BD = 9cm`

Có : `BD = CE` (giả thiết)

mà `BD = 9cm`

`-> CE = 9cm`

$\\$

Vì `ΔCNK` cân tại `N`

`NE` là đường cao

`-> NE` là đường trung tuyến

`-> E` là trung điểm của `KC`

`-> CE = 1/2 KC`

`-> 9 = 1/2 KC`

`-> KC = 18cm`