$\text{a) Ta có: AH ⊥ BC nên ΔAHC vuông tại H.}$
$\text{→ ∠CAH + ∠C = $90^{o}$ (1).}$
$\text{Vì AI là phân giác của ∠BAH nên ∠IAH = ∠BAI =}$ $\dfrac{1}{2}$∠BAH.
$\text{→ ∠BAH = 2.∠IAH.}$
$\text{mà ∠BAH = 2.∠C (gt).}$
$\text{⇒ ∠IAH = ∠C. (2).}$
$\text{Từ (1) và (2) suy ra: ∠CAH + ∠IAH = $90^{o}$.}$
$\text{⇒ ΔAIE vuông tại A.}$
$\text{Ta lại có: ∠ABI = $\dfrac{1}{2}$∠B; ∠BAI = $\dfrac{1}{2}$∠BAH.}$
$\text{Vì ∠AIE là góc ngoài ΔBIA nên ∠AIE = ∠ABI + ∠BAI}$
= $\dfrac{1}{2}.(∠B + ∠BAH)$ = $\dfrac{1}{2}.90^{o}$=$45^{o}$
$\text{⇒ ΔAIE vuông cân.}$
$\text{b) Ta có: IA ⊥ AC mà AI là phân giác trong của ΔBAH.}$
$\text{→ AE là phân giác ngoài của ΔABH tại A.}$
$\text{Lại có BE là phân giác trong của Δ ABH.}$
$\text{⇒ HE là phân giác ngoài tại ∠AHC.}$
