Gọi $N$ là điểm đối xứng $I$ qua $M$
$\Rightarrow \overrightarrow{NM} = \overrightarrow{MI} = \overrightarrow{IA}$
$\Rightarrow 2\overrightarrow{IA} = \overrightarrow{NI}$
Xét tứ giác $BICN$ có:
$MI = MN$ (cách dựng)
$BM = MC \, (gt)$
$NI\cap BC = \left\{M\right\}$
Do đó $BICN$ là hình bình hành
Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:
$\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{IN}$
Ta được:
$2\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC}$
$= \overrightarrow{NI} + \overrightarrow{IN}$
$= \overrightarrow{0}$
Với điểm $O$ tùy ý, ta có:
$2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$
$= 2\overrightarrow{OI} + 2\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{OI} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{OI} + \overrightarrow{IC}$
$= 4\overrightarrow{OI} + (2\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC})$
$= 4\overrightarrow{OI}$
