Giải thích các bước giải:
1.Vì $BE,CF$ là đường cao của $\Delta ABC$
$\to \widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^o$
$\to BEFC$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$
2.Gọi $At$ là tiếp tuyến của $(O), At$ nằm cùng phía với điểm $B$ qua đường thẳng $AC$
$\to\widehat{tAB}=\widehat{ACB}=\widehat{AFE}$
$\to At//EF$
Mà $At\perp AO\to EF\perp AO$
3.Gọi $AO\cap (O)=D\to AD$ là đường kính của (O)
$\to AC\perp CD\to\widehat{AFH}=\widehat{ACD}=90^o$
Mà $\widehat{ADC}=\widehat{ABC}=\widehat{AEF}=\widehat{AHF}$
$\to\Delta AFH\sim\Delta ACD(g.g)$
$\to\widehat{FAH}=\widehat{DAC}$
$\to \widehat{FAH}+\widehat{PAI}=\widehat{PAI}+\widehat{DAC}$
$\to\widehat{BAI}=\widehat{PAE}$
Mà $\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\to\widehat{AEP}=\widehat{ABI}$
$\to\Delta APE\sim\Delta AIB(g.g)$
$\to\dfrac{AP}{AI}=\dfrac{AE}{AB}$
Mà $\Delta AEF\sim\Delta ABC,\Delta AFH\sim\Delta ACD$
$\to\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{AH}{AD}$
$\to\dfrac{AP}{AI}=\dfrac{AH}{AD}$
$\to\dfrac{AP}{AH}=\dfrac{AI}{AD}$
$\to PI//DH$
Vì $AD$ là đường kính của $(O)$
$\to DB\perp AB,DC\perp AC$
$\to BD//CD, CD//BH\to BHCD$ là hình bình hành
$\to HD\cap BC$ tại trung điểm mỗi đường
$\to H,K,D$ thẳng hàng
$\to HK//IP$
