a) Xét $\Delta ADC$ và $\Delta ABE$ có:
$AD=AB$ (giả thiết)
$\widehat{DAC}=\widehat{BAE}$ $(=90^o+\widehat{BAC})$
$AC=AE$ (giả thiết)
$\Rightarrow \Delta ADC=\Delta ABE$ (c.g.c)
$\Rightarrow CD=EB$ (hai cạnh tương ứng) (đpcm)
Gọi $CD\cap BE=F$ và $CD\cap AB=G$ để chứng minh $CD\bot BE$ cần chứng minh $\widehat{F_1}=90^o$ thật vậy:
Xét $\Delta GBF$ có
$\widehat{G_1}+\widehat{B_1}+\widehat{F_1}=180^o$ (tổng 3 góc trong một tam giác)
$\Rightarrow\widehat{F_1}=180^o-(\widehat{G_1}+\widehat{B_1})$
mà $\widehat{G_1}=\widehat{G_2}$ (đối đỉnh) và
$\widehat{B_1}=\widehat{ADC}$ ($ \Delta ADC=\Delta ABE$ hai góc tương ứng)
$\Rightarrow\widehat{G_1}+\widehat{B_1}=\widehat{G_2}+\widehat{ADC}=180^o-\widehat{DAB}=180^o-90^o=90^o$
$\Rightarrow\widehat{F_1}=180^o-90^o=90^o$
$\Rightarrow DC\bot BE$ (đpcm)
b) Xét $\Delta$ vuông $ ADI$ và $\Delta$ vuông $ BAH$ có:
$AD=BA$ (giả thiết)
$\widehat{IAD}=\widehat{HBA}$ (do cùng cộng với $\widehat{BAH}$ bằng 90^o)
$\Rightarrow\Delta ADI=\Delta BAH$ (ch-gn)
$\Rightarrow ID=HA$ (hai cạnh tương ứng) (đpcm) (1)
c) Xét $\Delta $ vuông $AHC$ và $\Delta $ vuông $EKA$ có:
$AC=EA$ (giả thiết)
$\widehat{HCA}=\widehat{KAE}$ (cùng cộng với $\widehat{HAC}$ bằng 90^o)
$\Rightarrow \Delta AHC=\Delta EKA$ (ch-gn)
$\Rightarrow AH=EK$ (hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra $ID=EK$
và gọi $DE\cap IK=J\Rightarrow \widehat{KJE}=\widehat{IJD}$ (đối đỉnh)
$\Rightarrow \Delta$ vuông $KJE=\Delta$ vuông $IJD$ (cgv-gn)
$\Rightarrow KJ=IJ$ và $EJ=DJ\Rightarrow J$ là trung điểm của KI và ED
$\Rightarrow DE$ và $IK$ có trung điểm J trung (đpcm)
