a, AD ⊥ BC (gt) ⇒ $\widehat{ADC}=90°$ Hay $\widehat{HDC}=90°$
BE ⊥ AC (gt) ⇒ $\widehat{BEC}=90°$ Hay $\widehat{HEC}=90°$
Xét tứ giác CDHE có: $\widehat{HDC}+\widehat{HEC}=90°+90°=180°$
Mà hai góc này ở vị trí đối nhau
⇒ Tứ giác CDHE nội tiếp đường tròn đường kính CH
b, Xét (O) có: $\widehat{AFB}=\widehat{ACB}$ (hai góc nội tiếp chắn $\overparen{AB}$)
Hay $\widehat{AFH}=\widehat{ACD}$
Xét ΔADC vuông tại D ($\widehat{ADC}=90°$) có:
$\widehat{ACD}+\widehat{CAD}=90°$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)
Hay $\widehat{ACD}+\widehat{EAH}=90°$
BE ⊥ AC (gt) ⇒ $\widehat{BEA}=90°$ Hay $\widehat{HEA}=90°$
Xét ΔAEH vuông tại E ($\widehat{AEH}=90°$) có:
$\widehat{AHE}+\widehat{EAH}=90°$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)
Hay $\widehat{AHF}+\widehat{EAH}=90°$
Mà $\widehat{ACD}+\widehat{EAH}=90°$ (cmt)
⇒ $\widehat{AHF}=\widehat{ACD}$
Mà $\widehat{AFH}=\widehat{ACD}$ (cmt)
⇒ $\widehat{AFH}=\widehat{AHF}$
c, Gọi I là trung điểm của HC
Tứ giác CEHD nội tiếp đường tròn đường kính HC (cmt)
⇒ Tứ giác CEHD nội tiếp (I)
⇒ ΔCED nội tiếp (I)
Xét ΔAHF có: $\widehat{AFH}=\widehat{AHF}$ (cmt)
⇒ ΔAHF cân tại A
Mà AC ⊥ HF (gt)
⇒ AC là trung trực của HF
⇒ CH = CF
Xét ΔCHF có: CH = CF (cmt)
⇒ ΔCHF cân tại C
⇒ $\widehat{FHC}=\widehat{HFC}$ Hay $\widehat{EHC}=\widehat{BFC}$
Xét (O) có: $\widehat{BAC}=\widehat{BFC}$ (góc nội tiếp chắn $\overparen{BC}$)
⇒ $\widehat{EHC}=\widehat{BAC}$
Hay $\widehat{EHC}=\widehat{BAE}$
Xét ΔBAE vuông tại E ($\widehat{BEA}=90°$) có:
$\widehat{BAE}+\widehat{ABE}=90°$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)
Mà $\widehat{EHC}=\widehat{BAE}$ (cmt)
⇒ $\widehat{EHC}+\widehat{ABE}=90°$
Hay $\widehat{EHI}+\widehat{ABE}=90°$
Tứ giác CEHD nội tiếp (I) (cmt) ⇒ IE = IH
Xét ΔIEH có: IE = IH (cmt)
⇒ ΔIEH cân tại I
⇒ $\widehat{EHI}=\widehat{HEI}$
Mà $\widehat{EHI}+\widehat{ABE}=90°$ (cmt)
⇒ $\widehat{HEI}+\widehat{ABE}=90°$
Hay $\widehat{HEI}+\widehat{MBE}=90°$
Xét ΔAEB vuông tại E ($\widehat{BEA}=90°$) có:
EM là trung tuyến ứng với cạnh huyền AB (M là trung điểm của AB)
⇒ EM = MB = $\frac{1}{2}$ AB
Xét ΔEMB có: EM = MB (cmt)
⇒ ΔEMB cân tại M
⇒ $\widehat{MEB}=\widehat{MBE}$
⇒ $\widehat{MEB}=\widehat{MBE}$ Hay $\widehat{MEH}=\widehat{MBE}$
Mà $\widehat{HEI}+\widehat{MBE}=90°$ (cmt)
⇒ $\widehat{HEI}+\widehat{MEH}=90°$
⇒ $\widehat{MEI}=90°$
⇒ IE ⊥ ME
Xét (I) có:
E ∈ (I) (ΔCDE nội tiếp (I))
IE ⊥ ME (cmt)
⇒ ME là tiếp tuyến, E là tiếp điểm của (I) ngoại tiếp ΔCDE
