Đáp án: 3cm
Giải thích các bước giải:
Xét tứ giác ABEK có :
Góc AEB = góc AKB = 90 độ
⇒ tứ giác ABEK nội tiếp đường tròn đường kính AB.
Vì tứ giác ABEK nội tiếp
Góc ABC = góc EKC ( cùng bù với AKE )
Xét tam giác CAB và CEK có :
ACB chung
Góc ABC = góc EKC ( chứng minh trên )
⇒ Δ CAB = Δ CEK ( g . g )
⇒ CACE = CBCK ( các cạnh tương ứng )
⇒ CE.CB = CK.CA
Kẻ OD ⊥ Ac tại D
- Ta có :
ABC = 12^AOC ( góc nội tiếp và góc ở tam cùng chắn cung AC )
Δ OAC cân tại O nên đường cao OD đồng thời là phân giác
⇒ AOD = 12^AOC
⇒ Góc AOD = góc ABC
Xét tam giác ABE và ADO có :
Góc AEB = góc ADO =90 độ
Góc AOD = góc ABC
⇒Δ ABE = Δ ADO ( g . g )
⇒ Góc BAE = góc OAD
Mà Góc OAD = góc OCA ( Δ OAC cân tại điểm O )
⇒ Góc OCA = góc BAE
- Ta có Góc HBC = góc FAC ( cùng phụ với góc AHK )
Mà Góc FAC = Góc FBC ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung FC )
⇒ Góc HBC = Góc FBC.
Do đó tam giác BHF cân tại B ( đường cao đồng thời là phân giác )
Nên ⇒ BE là trung trực của HF.
Tương tự ta chứng minh được CE là trung trực của HF
⇒ BC là trung trực của HF hay H và F đối xứng nhau qua BC
⇒ Khi A chạy trên đường tròn sao cho tam giác ABC luôn là tam giác nhọn thì F chạy trên cung nhỏ BC
Mà H đối xứng F qua BC nên H chạy trên một cung tròn đối xứng với cung nhỏ BC của đường tròn ( O ) qua BC. Đường tròn đó có tâm I đối xứng O qua BC.
⇒ r=R = 3 cm
