Giải thích các bước giải:
a) Xét $Δ ABC$ có :
$AE=EB$ ($CE$ là đường trung tuyến )
$AD=DC$ ($BD$ là đường trung tuyến )
⇒ $ED$ là đường trung bình
⇒ $DE$ = $\frac{BC}{2}$ ; $DE // BC$ (Định lý đường trung bình trong tam giác)
⇒ $DE$ = $\frac{4}{2}$ $ = 2(cm)$
Xét tứ giác $EDCB$ có :
$DE // BC$ $(cmt)$
⇒ Tứ giác $EDCB$ là hình thang
Ta có :
$M$ là trung điểm $BE$ $(gt)$
$N$ là trung điểm $CD$ $(gt)$
⇒ $MN$ là đường trung bình của hình thang $EDCB$
⇒ $MN$ = $\frac{BC + ED}{2}$ ( Định lí 4 Đường trung bình của hình thang )
⇒ $MN$ = $\frac{4+2}{2}$ $= 3(cm)$
b) Xét hình thang $EDCB$ có :
$MN$ đường trung bình $(cmt)$
Ta lại có :
$MN∩BD$ tại $P$
⇒ $MP // ED$ mà $M$ là trung điểm $BE(gt)$
⇒ $P$ là trung điểm $BD$
⇒ $MP$ đường trung bình của $ΔDEF$
Xét $Δ DEF$ có :
$MP$ đường trung bình$(cmt)$
⇒ $MP$ = $\frac{ED}{2}$ ( Định lý đường trung bình trong tam giác )
⇒ $MP$ = $\frac{2}{2}$ $= 1(cm)$ $(1)$
Ta cũng có :
$MN∩CE$ tại $Q$
⇒ $NQ // ED$ mà $N$ là trung điểm $CD(gt)$
⇒ $Q$ là trung điểm $CE$
⇒ $QN$ là đường trung bình của $ΔCDE$
Xét $Δ CDE$ có :
$QN$ là đường trung bình$(cmt)$
⇒ $QN$ = $\frac{ED}{2}$ ( Định lý đường trung bình trong tam giác )
⇒ $QN$ = $\frac{2}{2}$ $= 1(cm)(2)$
Từ $(1)$và $(2)$ ⇒ $MP = QN =1(cm)$
Ta lại có : $MN=MP + PQ + QN$
⇒ $PQ=MN-MP-QN=3-1-1=1(cm)$
Vậy $MP = PQ = QN$
