Giải thích các bước giải:
a) Ta có:
$\widehat {BEC} = \widehat {BFC} = {90^0}$
$\to $ Tứ giác $BCEF$ nội tiếp.
Lại có:
$\widehat {AEH} + \widehat {AFH} = {90^0} + {90^0} = {180^0}$
$\to $ Tứ giác $AEHF$ nội tiếp.
b) Ta có:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {AEH} = \widehat {BEC} = {90^0}\\
\widehat {HAE} = \widehat {CBE}\left( { + \widehat {ACB} = {{90}^0}} \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \Delta AEH \sim \Delta BEC\left( {g.g} \right)\\
\Rightarrow \dfrac{{EA}}{{EB}} = \dfrac{{EH}}{{EC}}\\
\Rightarrow EH.EB = EA.EC
\end{array}$
c) Ta có:
$\begin{array}{l}
\widehat {BFH} + \widehat {BDH} = {180^0}\\
\Rightarrow BDHF \text{là tứ giác nội tiếp}\\
\Rightarrow \widehat {HDF} = \widehat {HBF}\\
\Rightarrow \widehat {HDF} = \widehat {EBF}\left( 1 \right)
\end{array}$
Chứng mih tương tự ta có:
$HECD$ là tứ giác nội tiếp
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \widehat {HDE} = \widehat {HCE}\\
\Rightarrow \widehat {HDE} = \widehat {ECF}\left( 2 \right)
\end{array}$
Mặt khác: $BCEF$ là tứ giác nội tiếp $ \Rightarrow \widehat {EBF} = \widehat {ECF}\left( 3 \right)$
Từ $(1),(2),(3)$$ \Rightarrow \widehat {HDE} = \widehat {HDF}$
$\to DH$ là phân giác của $\widehat{EDF}$
Chứng minh tương tự như trên ta có:
$EH$ là phân giác của $\widehat{DEF}$ và $FH$ là phân giác của $\widehat{DFE}$
Như vậy:
$EH;DH;FH$ giao nhau tại $H$
$\to H$ là trực tâm của tam giác $DEF$
d) Ta có:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {DAC} = \widehat {DBH}\left( { + \widehat {ACB} = {{90}^0}} \right)\\
\widehat {ADC} = \widehat {BDH}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \Delta ADC \sim \Delta BDH\left( {g.g} \right)\\
\Rightarrow \dfrac{{AD}}{{BD}} = \dfrac{{CD}}{{HD}}\\
\Rightarrow HD = \dfrac{{BD.CD}}{{AD}} = \dfrac{{3.4}}{5} = 2,4cm
\end{array}$
Khi đó:
$\begin{array}{l}
{S_{BHC}} = \dfrac{1}{2}HD.BC = \dfrac{1}{2}HD.\left( {BD + CD} \right)\\
= \dfrac{1}{2}.2,4.\left( {3 + 4} \right) = 8,4c{m^2}
\end{array}$
Vậy ${S_{BHC}} = 8,4c{m^2}$
